[科普中國]-態(tài)射

定義

一個(gè)范疇C由兩個(gè)類給定：一個(gè)對(duì)象的類和一個(gè)態(tài)射的類。

有兩個(gè)操作定義在每個(gè)態(tài)射上，域（domain，或源）和陪域（codomain，或目標(biāo)）。

態(tài)射經(jīng)常用從域到他們的陪域的箭頭來表示，例如若一個(gè)態(tài)射f域?yàn)閄而陪域?yàn)閅，它記為f:X→Y。所有從X到Y(jié)的態(tài)射的集合記為homC(X,Y)或者h(yuǎn)om(X,Y)。（有些作者采用MorC(X,Y)或Mor(X,Y)）。

對(duì)于任意三個(gè)對(duì)象X，Y，Z，存在一個(gè)二元運(yùn)算hom(X,Y)×hom(Y,Z) → hom(X,Z)稱為復(fù)合。f:X→Y和g:Y→Z的復(fù)合記為 或gf（有些作者采用fg）。態(tài)射的復(fù)合經(jīng)常采用交換圖來表示。例如

態(tài)射必須滿足兩條公理：

（1）存在恒等態(tài)射：對(duì)于每個(gè)對(duì)象X，存在一個(gè)態(tài)射idX:X→X稱為X上的恒等態(tài)射，使得對(duì)于每個(gè)態(tài)射f:A→B我們有 。

（2）滿足結(jié)合律： 在任何操作有定義的時(shí)候。

當(dāng)C是一個(gè)具體范疇的時(shí)候，復(fù)合只是通常的函數(shù)復(fù)合，恒等態(tài)射只是恒等函數(shù)，而結(jié)合律是自動(dòng)滿足的。（函數(shù)復(fù)合是結(jié)合的。）

注意域和陪域本身是決定態(tài)射的信息的一部分。例如，在集合的范疇，其中態(tài)射是函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)可以作為有序?qū)Φ募舷嗟?，但卻有不同的陪域。這些函數(shù)從范疇論的目的來說被視為不同。因此，很多作者要求態(tài)射類hom(X,Y)是不交的。實(shí)際上，這不是一個(gè)問題，因?yàn)槿绻麄儾皇遣唤坏?，域和陪域可以加到態(tài)射上，（例如，作為一個(gè)有序三元組的第二和第三個(gè)分量），使得它們不交（互斥，disjoint）。

對(duì)態(tài)射和它們定義于其間的結(jié)構(gòu)(或?qū)ο?的抽象研究構(gòu)成了范疇論的一部分。在范疇論中，態(tài)射不必是函數(shù)，而通常被視為兩個(gè)對(duì)象(不必是集合 )間的箭頭。不象映射一個(gè)集合的元素到另外一個(gè)集合，它們只是表示域(domain)和陪域(codomain)間的某種關(guān)系。

盡管態(tài)射的本質(zhì)是抽象的，多數(shù)人關(guān)于它們的直觀(事實(shí)上包括大部分術(shù)語)來自于具體范疇的例子，在那里對(duì)象就是有附加結(jié)構(gòu)的集合而態(tài)射就是保持這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)。

態(tài)射的類型（1）同構(gòu)1（isomorphism）:令f:X→Y為一個(gè)態(tài)射。若存在態(tài)射g:Y→X使得和成立，則f稱為一個(gè)同構(gòu)。g稱為f的逆態(tài)射，逆態(tài)射g如果存在就是唯一的，而且顯而易見g也是一個(gè)同構(gòu)，其逆為f。兩個(gè)對(duì)象之間有一個(gè)同構(gòu)，那么這兩個(gè)對(duì)象稱為同構(gòu)的或者等價(jià)的。同構(gòu)是范疇論中態(tài)射的最重要種類。

（2）滿同態(tài)2（epimorphism）：一個(gè)態(tài)射f:X→Y稱為一個(gè)滿同態(tài)，如果對(duì)于所有Y→Z的態(tài)射g1，3成立。這也稱為epi或epic.具體范疇中的滿同態(tài)通常是滿射（surjective）函數(shù)，雖然并不總是這樣。3

（3）單同態(tài)（monomorphism）：態(tài)射f:X→Y稱為單同態(tài)，如果對(duì)于所有Z→X的態(tài)射g1，g2，成立。它也稱為mono或者monic.具體范疇中的單同態(tài)通常為單射（injective）函數(shù)。2

（4）雙同態(tài)（bimorphism）：若f既是滿同態(tài)也是單同態(tài)，則稱f為雙同態(tài)（bimorphism）。

注意每個(gè)同構(gòu)都是雙同態(tài)，但不是每個(gè)雙同態(tài)都是同構(gòu)。例如，交換環(huán)的范疇中，包含映射Z → Q是一個(gè)雙同態(tài)，但不是一個(gè)同構(gòu)。如果在一個(gè)范疇中每個(gè)雙同態(tài)都是同構(gòu)，則這個(gè)范疇稱為一個(gè)平衡范疇。例如，集合是一個(gè)平衡范疇。

（5）自同態(tài)（endomorphism）：任何態(tài)射f:X→X稱為X上的一個(gè)自同態(tài)。

（6）自同構(gòu)（automorphism）：若一個(gè)自同態(tài)也是同構(gòu)的，那么稱之為自同構(gòu)。

（7）若f:X→Y和g:Y→X滿足可是證明f是滿的而g是單的，而且 :X→X是冪等的。這種情況下，f和g稱為分割（split）.f稱為g的收縮（retraction）而g稱為f的截面。任何既是滿同態(tài)又是分割單同態(tài)的態(tài)射，或者既是單同態(tài)又是分割滿同態(tài)的態(tài)射必須是同構(gòu)。

例子在泛代數(shù)中研究的具體范疇（例如群，環(huán)，模，等等），態(tài)射稱為同態(tài)。術(shù)語同構(gòu)，滿同態(tài)，單同態(tài)，自同態(tài)，和自同構(gòu)也都適用于這個(gè)特殊范圍。

在拓?fù)淇臻g范疇，態(tài)射是連續(xù)函數(shù)，而同構(gòu)稱為同胚。

在光滑流形范疇中，態(tài)射是光滑函數(shù)而同構(gòu)稱為微分同胚。

函子可以視為小范疇的范疇中的態(tài)射。

在函子范疇中，態(tài)射是自然變換。