[科普中國(guó)]-同余數(shù)

定義

叫同余數(shù)，如果它是三邊邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形的面積。用式子來(lái)表示就是：如果存在三個(gè)正有理數(shù) 滿足 和面積 ，此數(shù) 就稱為同余數(shù)。

例如：6是同余數(shù),因?yàn)樗侨呥呴L(zhǎng)3、4、5的直角三角形的面積。5也是同余數(shù)，因?yàn)樗沁呴L(zhǎng)為 的直角三角形的面積。

整同余數(shù)如果正整數(shù)n是同余數(shù)，那么，n稱為整同余數(shù)。

設(shè)n是正有理數(shù)，且對(duì) ，這里s是正有理數(shù)，而r是無(wú)平方因子的正整數(shù)，那么n是同余數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)r是同余數(shù)。

由此可見，同余數(shù)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為整同余數(shù)來(lái)處理。2

本原同余數(shù)如果一個(gè)A 是不含平方因子的整同余數(shù)，則 A 稱為本原同余數(shù)。

重要結(jié)論定理：n是整同余數(shù)的充要條件是存在正整數(shù)a,b,v，使得：

其中， 是正整數(shù)，一奇數(shù)一偶數(shù)2

推論：若不定方程 沒有正整數(shù)解，則n不是同余數(shù)。

應(yīng)用舉例例1 試證明：1不是同余數(shù)

證明：因?yàn)椴欢ǚ匠?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/9Hi7Z2PkkQfzavb874C4ye8o7SfXCXlEmd1l.jpg" alt="" />沒有正整數(shù)解3，由推論知，1不是同余數(shù)。

例2 試證7是同余數(shù)

證明：在中，取 ，得，故7是同余數(shù)

例3 設(shè)k為正整數(shù)，試證不是同余數(shù)

證明：假設(shè)是同余數(shù)，則有：有正整數(shù)解，從而，不定方程有正整數(shù)解，但不定方程沒有正整數(shù)解3，矛盾，故假設(shè)不成立。因此，不是同余數(shù)2

歷史同余數(shù)問(wèn)題在數(shù)學(xué)界被稱為三大千年數(shù)論難題之一（另外兩個(gè)是完全數(shù)問(wèn)題與三次和三次以上丟番圖方程有解問(wèn)題）。古阿拉伯人是通過(guò)研究直角三角形的面積提出同余數(shù)問(wèn)題的。對(duì)于直角三角形，人們已經(jīng)知道，它的三邊滿足方程 ，這就是我們所說(shuō)的的勾股定理（在國(guó)外又被稱為畢達(dá)哥拉斯定理）。當(dāng)直角三角形的三邊 為有理數(shù)，若直角三角形的面積 為正整數(shù)，這樣的 就是古阿拉伯人所欲求得的同余數(shù)。

早在一千多年前的一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)正整數(shù)n何時(shí)能成為一個(gè)一個(gè)由三個(gè)有理平方數(shù)形成的等差數(shù)列的公差，也就是說(shuō) 都是平方數(shù)。這與前面的定義是等價(jià)的，因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/IkHOlH0zJYi3TbGKjyJXpbqk9oMTfwBpg2at.jpg" alt="" /> 形成我們想要的等差數(shù)列。反過(guò)來(lái)，若 ，則 形成一個(gè)面積為 的有理直角三角形。這便是同余數(shù)名稱的由來(lái)。容易看出，乘上一個(gè)平方數(shù)不影響一個(gè)數(shù)是否成為同余數(shù)。所以人們常常假設(shè)n不含平方因子。在阿拉伯人的手稿中，給出了34個(gè)同余數(shù)，其中，不含平方因子的有30個(gè)：

以后的古希臘人，也曾在同余數(shù)問(wèn)題上得到了一些具體的結(jié)果。

研究成果經(jīng)典結(jié)果到了十七世紀(jì)，法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬開始對(duì)同余數(shù)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)地研究，首先，他把古阿拉伯人的研究方法改造為一個(gè)定理：正整數(shù)n是同余數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)方程組 具有y≠0的整數(shù)解。這就使初等數(shù)論理論開始應(yīng)用到同余數(shù)問(wèn)題的研究之中，運(yùn)用他自己發(fā)明的無(wú)窮遞降法，費(fèi)爾馬證明了1 ，2 ，3 不是同余數(shù)。其中1不是同余數(shù)等價(jià)于方冪等于4的費(fèi)馬大定理，即 沒有整數(shù)解。這也是最早出現(xiàn)的對(duì)非同余數(shù)的研究成果。萊昂哈德·歐拉(Euler)第一個(gè)證明了7是同余數(shù)。

公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)正整數(shù)n何時(shí)能成為一個(gè)一個(gè)由三個(gè)有理平方數(shù)形成的等差數(shù)列的公差，也就是說(shuō)x-n,x,x+n都是平方數(shù)。

十三世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契指出5和7是同余數(shù)，他也猜想1、2、3不是同余數(shù)，但未能給出證明。

直到1659年，法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬運(yùn)用他自己發(fā)明的無(wú)窮下降法證明了1、2、3不是同余數(shù)。

十八世紀(jì)，大數(shù)學(xué)家歐拉首次證明了7是同余數(shù)。

1952年，Heegner證明了任意模8余5、7的素?cái)?shù)和任意模4余3的素?cái)?shù)的兩倍均為同余數(shù)。

2000年，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所公布了千禧年七大數(shù)學(xué)難題，每破解其中一個(gè)難題者將獲得100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金。其中就有著名的BSD猜想（全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而這個(gè)猜想與同余數(shù)問(wèn)題有緊密的聯(lián)系。

2012年，田野證明了存在無(wú)窮多個(gè)具有任意指定素因子個(gè)數(shù)的同余數(shù)，這是在同余數(shù)問(wèn)題上的一個(gè)根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。4

與橢圓曲線關(guān)系近代人們發(fā)現(xiàn)同余數(shù)問(wèn)題與橢圓曲線緊密相關(guān)。n是同余數(shù)等價(jià)于橢圓曲線 有無(wú)窮多個(gè)有理點(diǎn)。5特別的，在假設(shè)BSD猜想前提下，模8余5，6，7的n是同余數(shù)。

把這個(gè)定理與橢圓曲線理論相聯(lián)系，使人們對(duì)同余數(shù)問(wèn)題的研究有了重大的進(jìn)展，不過(guò)人們同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，用這個(gè)定理去求解一個(gè)具體的同余數(shù)仍然非常地困難。例如，人們已知157是同余數(shù)，但在方程 的最小解 中，x的分母和分子都近100位，它對(duì)應(yīng)的直角三角形的斜邊為6

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猜想性的判定法則Tunnell證明了在假設(shè)BSD猜想的前提下，若n是奇數(shù)，定義

若n是偶數(shù)，定義

則n是同余數(shù)等價(jià)于a(n)=0。由于解析秩為0的情形已經(jīng)被證明，因此a(n)不等于0能推出n不是同余數(shù)。利用這種方法，可以有效地驗(yàn)證一個(gè)非同余數(shù)。

2下降法在非同余數(shù)方面，人們推廣了費(fèi)馬的方法，證明了任何素?cái)?shù)或者素?cái)?shù)的兩倍，如果模8余1，2，3，是非同余數(shù)。馮克勤證明了對(duì)任意的k>0，存在無(wú)限多個(gè)非同余數(shù)恰好有k個(gè)素因子。5

與特殊值公式的關(guān)系利用特殊值的導(dǎo)數(shù)公式，Heegner證明了模8余5，6，7的素?cái)?shù)或素?cái)?shù)兩倍是同余數(shù)。在此基礎(chǔ)上，田野證明了對(duì)任意的k>0，存在無(wú)限多個(gè)非同余數(shù)恰好有k個(gè)素因子。78

50%-50%猜想人們猜想，幾乎所有的模8余5,6,7的平方自由的正整數(shù)對(duì)應(yīng)的橢圓曲線秩為1，幾乎所有的模8余1,2,3的平方自由的正整數(shù)對(duì)應(yīng)的橢圓曲線秩為0。也就是說(shuō)所有的同余橢圓曲線中有50%秩為0，50%秩為1。田野首次證明了秩為0和秩為1的百分比均大于0，相關(guān)文章尚未發(fā)表。