[科普中國]-良序定理

定義

選擇公理的一種等價(jià)形式.該定理斷言：每一個(gè)集合可以被良序.早在1883年，德國數(shù)學(xué)家康托爾(Cantor，G.(F.P.))發(fā)明基數(shù)理論之時(shí)，他就提出了連續(xù)統(tǒng)的大小問題，并且假定全體實(shí)數(shù)的集合(連續(xù)統(tǒng))可以被良序.由于這個(gè)良序時(shí)至今日仍未找到，所以康托爾的假定一直遭到強(qiáng)烈反對.1904年，德國數(shù)學(xué)家策梅洛(Zermelo，E.F.F.)給出了選擇公理的明確表達(dá)，并用之證明了每個(gè)集合是可被良序的.不久，又證明了良序定理與選擇公理是等價(jià)的.由良序定理可知，每一集合序同構(gòu)于某個(gè)序數(shù)，又可基等價(jià)于某個(gè)基數(shù)，從而給人們帶來了極大的方便，例如，可以在任何集合上應(yīng)用超窮歸納的證明方法。1

所有集合都是可良序的。集合論的重要定理之一。德國邏輯學(xué)家策梅羅(E.Zermelo)1904年首次證明。包括選擇公理在內(nèi)的集合論公理，能證明良序定理;由除選擇公理以外的集合論公理，加上良序定理，也能證明選擇公理。

選擇公理的等價(jià)形式之一。其內(nèi)容為：對任何集合S，存在S上的二元關(guān)系R，使得是良序集。它意味著：任何集合都可以良序化。德國數(shù)學(xué)家策梅羅于1904年提出了這一定理，并在選擇公理的基礎(chǔ)上給出了定理的證明。

基本概念定義稱CPXP是良序的，若C的任何非空子集均有極小元；

稱CPxP是逆良序的，若C的任何非空子集均有極大元；2

稱APxP在PxP中是相對良序完備的，若A的任一個(gè)良序集或逆良序集在PxP中有上確界和下確界，若A=PxP，則稱PxP是良序完備的。

與選擇公理的關(guān)系ZFC中的證明良序定理是一條ZFC公理集合論系統(tǒng)中的定理。它可以由佐恩引理證明如下：

對任意集合S，為了證明存在S上的一個(gè)良序，令集合P為所有S的子集上的良序（嚴(yán)格來說，P的元素是S的子集和其上的良序關(guān)系組成的有序?qū)Γ?。對任意A，B∈P，定義A≤B當(dāng)且僅當(dāng)A是B的一個(gè)前段。(P,≤)構(gòu)成一偏序集，且對這個(gè)偏序集的任意鏈，取其中所有良序的并，則得到這條鏈的一個(gè)上界。應(yīng)用佐恩引理，得到P有一個(gè)極大元M。M必然是整個(gè)S的一個(gè)偏序，否則若x是不在M中的一個(gè)S的元素，把x接到M后面得到M'，則M'∈P且M≤M'，與M的極大性矛盾。定理得證。

反推選擇公理在ZF中，由良序定理可以簡單地證明選擇公理：

對任意由非空集合組成的集合A，取A的并集S，由良序定理，S是可以良序的。A中的任意集合X都是S的非空子集，故根據(jù)這個(gè)S的良序，可以選出一個(gè)最小元素x。這種選擇是滿足替換公理模式的條件的，故應(yīng)用替換公理模式，即證明了選擇公理。

由此可見，在ZF中良序定理和選擇公理是等價(jià)的，故在有些ZFC公理系統(tǒng)的表示中，良序定理代替了選擇公理。

意義良序定理是非常重要的，因?yàn)樗_保所有集合適用超限歸納法的強(qiáng)力技術(shù)。

康托爾認(rèn)為良序定理是“思維的基本原理”。但是多數(shù)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)想象如實(shí)數(shù)集合R這樣的良序集合是困難的。在 1904年，Julius K?nig聲稱已經(jīng)證明了這種良序不能存在。幾周之后，費(fèi)利克斯·豪斯多夫在他的證明中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤。恩斯特·策梅洛接著引入了選擇公理作為證明良序定理的“不討厭的邏輯原理”。這揭示了良序定理等價(jià)于選擇公理，在它們中的一個(gè)和Zermelo-Fraenkel公理一起足夠證明另一個(gè)的意義上。

良序定理已經(jīng)推出似乎是悖論的推論，比如巴拿赫-塔斯基悖論。