[科普中國]-旁切圓

簡介

三角形的旁切圓是指與三角形的一邊及另外兩邊的延長線都相切的圓，每個(gè)三角形都有3個(gè)旁切圓，各與三角形其中一邊和另外兩邊的延線相切。而它們的圓心稱為旁心，旁心是三角形一內(nèi)角平分線和另外兩外角平分線的交點(diǎn)，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，一般記為J。

在三線性坐標(biāo)系中，旁心分別是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。三角形關(guān)于頂點(diǎn)A、B、C的旁切圓的半徑分別是 、 和 ，其中S表示三角形面積，a、b、c分別是A、B、C的對邊。

旁切圓與三角形相切的點(diǎn)，和三角形相對的頂點(diǎn)連起，三線交于一點(diǎn)，稱為奈格爾點(diǎn)。

費(fèi)爾巴哈點(diǎn)等相關(guān)概念旁切圓和內(nèi)切圓有密切的聯(lián)系。它們都與九點(diǎn)圓相切，切點(diǎn)稱為費(fèi)爾巴哈點(diǎn)。三個(gè)旁心與內(nèi)心組成一個(gè)垂心組，也就是說內(nèi)心是三個(gè)旁心所組成的三角形的垂心，而相應(yīng)的三個(gè)垂足則是旁心所對的頂點(diǎn)。

旁切圓與三角形的邊（或其延長線）相切的點(diǎn)稱為旁切點(diǎn)。從一個(gè)頂點(diǎn)沿著三角形的邊走到與之相對的旁切圓在對邊的切點(diǎn)所用的距離必定是周長的一半，也就是說，這個(gè)頂點(diǎn)和它“對面”的旁切點(diǎn)將三角形的周界等分為兩半。將三角形的每個(gè)頂點(diǎn)和與之相對的旁切圓關(guān)于對邊的旁切點(diǎn)連起，則根據(jù)塞瓦定理，三線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為奈格爾點(diǎn)。

梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理，簡稱梅氏定理，是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。

旁切圓的性質(zhì)如圖1，⊙O切BC邊于D，切AB、AC的延長線于E、F，那么：

（1）OD=OE=OF；

（2）∠BOC=90° ∠A；

（3）BE+CF=BC。

事實(shí)上其逆命題也成立：

（4）如果O為∠A平分線上的一點(diǎn)，且∠BOC=90° ∠A，那么O為△ABC的旁切圓圓心（旁心）。

（5）如果O為∠A平分線上一點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，且BE+CF=BC，那么O為△ABC的旁切圓圓心（旁心）。

旁切圓半徑的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：在△ABC中，三邊BC、CA、AB分別為a、b、c，AD為BC邊上的高，⊙ 、⊙ 、⊙ 分別為△ABC中∠BAC所對的旁切圓，△ADC中∠ADC所對的旁切圓，△ADB中∠ADB所對的旁切圓。半徑分別為 ，則： 。

推論1：在△RtABC中，三邊BC、CA、AB分別為a、b、c，∠A=90°，AD為BC邊上的高，⊙ 、⊙ 、⊙ 分別為△ABC中∠BAC所對的旁切圓，△ADC中∠ADC所對的旁切圓，△ADB中∠ADB所對的旁切圓。半徑分別為 ，則： 。

（2）性質(zhì)2：在△ABC中，三邊BC、CA、AB分別為a、b、c，AD為BC邊上的中線，⊙ 、⊙ 、⊙ 分別為△ABC中∠BAC所對的旁切圓，△ADC中∠ADC所對的旁切圓，△ADB中∠ADB所對的旁切圓。半徑分別為 ，則： 。

推論2：在△ABC中，三邊BC、CA、AB分別為a、b、c，∠A=90°，AD為BC邊上的中線，⊙、⊙、⊙分別為△ABC中∠BAC所對的旁切圓，△ADC中∠ADC所對的旁切圓，△ADB中∠ADB所對的旁切圓。半徑分別為，則：。

（3）性質(zhì)3：在△ABC中，三邊BC、CA、AB分別為a、b、c，AD為∠BAC的平分線，⊙、⊙、⊙分別為△ABC中∠BAC所對的旁切圓，△ADC中∠ADC所對的旁切圓，△ADB中∠ADB所對的旁切圓。半徑分別為，則：。

推論3：在△ABC中，三邊BC、CA、AB分別為a、b、c，∠A=90°，AD為∠BAC的平分線，⊙、⊙、⊙分別為△ABC中∠BAC所對的旁切圓，△ADC中∠ADC所對的旁切圓，△ADB中∠ADB所對的旁切圓。半徑分別為，則：。