[科普中國]-模曲線

簡介

在數(shù)論和代數(shù)幾何中，模曲線 是黎曼表面或相關(guān)的代數(shù)曲線，通過積分2×2矩陣 的模塊化組的子群 ，構(gòu)造為復上半平面H的商。模曲線也可以用于指壓縮模曲線 ，它們是通過將有限多個點（稱為 的尖點）添加到該商（通過在擴展的復上半平面上）而獲得的緊湊化。模曲線的參數(shù)以及 群的一些附加特征擬合橢圓曲線的同構(gòu)類。這個解釋給出了模曲線的純代數(shù)而不考慮復數(shù)的定義，而且證明了模曲線是在有理場Q上建立的，或者是一個循環(huán)場。后一種和它的概括在數(shù)論中是根本的重要性。1

分析定義模塊化組 通過分數(shù)線性變換作用在上半平面上。 模曲線的分析定義涉及對于某些正整數(shù)N， 的同余子群 ，即包含 的同余子群，其中

N被稱為 的水平?？梢詫?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/zhBiv3VX8NzvCJIzYUxLwvOw20xiOH1U8Fqd.jpg" alt="" /> \H上的復雜結(jié)構(gòu)放在通常表示為 的非緊密黎曼表面表面上。2

緊模曲線通過添加有限的稱為 的尖點獲得 的緊湊化。 具體來說，這是通過擴展復合上半平面 上的 來完成的。 以 為基礎(chǔ)引入拓撲結(jié)構(gòu)：

（1）H的任何開放子集；

（2）對于所有r> 0，集合 ；

（3）對于所有互質(zhì)整數(shù)a，c和所有r> 0， 的像

m,n是整數(shù)，并且

這使得 變成作為黎曼球 的子集的拓撲空間。 組 作用于子集 ，將其分解成有限的許多軌道，稱為 的尖點。 如果 在 上過渡運行，則空間 \ 成為 \H的Alexandroff壓縮。 再次，復數(shù)結(jié)構(gòu)可以放在商\上，使其變?yōu)楸硎緸?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/0HnbeY6qDHHtc2QoXUzPRsVfywEw44ZvbPRC.jpg" alt="" />的黎曼表面，其現(xiàn)在是緊湊的。 這個空間是的緊湊化。

舉例最常見的示例是與子組，和相關(guān)聯(lián)的曲線，和。

模曲線具有屬性0：它是具有12個尖點的黎曼球，位于常規(guī)二十面體的頂點。 X（5）→X（1）通過二次面組在黎曼球體上來實現(xiàn)。 這個組是一個和A5和PSL（2,5）同構(gòu)的簡單組。

模曲線是具有24個尖點的3類克萊恩。 它可以解釋為具有三個柄的表面，由24個七邊形平鋪，每個面的中心具有尖點。 這些可以通過dessins d'enfants和Belyi函數(shù)來理解，而邊緣的頂點和中心（黑色和白色點）是0和1之間的點。X（7）→X（1）的伽羅瓦組是與PSL同構(gòu)的一個168類的簡單組PSL（2,7）。

對于經(jīng)典模曲線，有一個明確的經(jīng)典模型，有時被稱為模曲線。的定義可以重述如下：它是作為縮減模N的內(nèi)核的模塊組的子組。然后是上三角模N的矩陣的較大子組：

是由下式定義的中間體：

這些曲線具有作為具有水平結(jié)構(gòu)的橢圓曲線的模數(shù)空間，并且因此它們在算術(shù)幾何中起重要作用。 水平為N的模曲線是橢圓曲線的?？臻g。 對于和，層次結(jié)構(gòu)分別是階數(shù)N和階N的循環(huán)子組。這些曲線已經(jīng)被非常詳細地研究，特別是已知可以通過Q定義。

定義模曲線的方程是模方程式中最著名的例子。 “最佳模型”可以與直接從橢圓函數(shù)理論得出的結(jié)果不同。黑克操作員可以在幾何學上進行研究，作為連接成對的模曲線的對應關(guān)系。3

型X（N）→X（1）是伽羅瓦，伽羅瓦組SL（2，N）/ {1，-1}，如果N為素數(shù)則等于PSL（2，N）。 應用黎曼 - 赫爾維茨公式和高斯 - 博內(nèi)定理，可以計算的屬。 對于素數(shù)級≥5，

其中是歐拉特征，是組PSL（2，p）的順序，是球（2,3,p）的角。 這產(chǎn)生一個公式

因此，X（5）具有型0，X（7）具有型3，X（11）具有型26。對于p = 2或3，還必須考慮分支，即存在階數(shù)p PSL（2，Z）中的元素以及PSL（2,2）具有型6而不是型3的事實。對于涉及的任何級別N的模曲線X（N）的屬來說，存在更復雜的公式 N.的除數(shù)。