[科普中國(guó)]-代數(shù)群

預(yù)備知識(shí)群

群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu);是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：3

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類?？梢哉f(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

代數(shù)幾何研究多項(xiàng)式方程組在仿射或射影空間里的公共零點(diǎn)集合的幾何特性的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.換言之，它是研究代數(shù)簇的.代數(shù)幾何與許多其他數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系.通常假設(shè)代數(shù)簇V中點(diǎn)的坐標(biāo)在某個(gè)固定域k中選取，k稱為V的基域.V為不可約(即V不能分解成兩個(gè)比它小的閉代數(shù)子簇的并)時(shí)，V上所有有理函數(shù)(即兩個(gè)多項(xiàng)式的商)全體也構(gòu)成一個(gè)域，稱為V的有理函數(shù)域，它是k的一個(gè)有限生成擴(kuò)域.通過(guò)這樣的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，代數(shù)幾何可以看成是用幾何的語(yǔ)言和觀點(diǎn)來(lái)研究有限生成擴(kuò)域.

代數(shù)幾何的基本問(wèn)題就是代數(shù)簇的分類.包括雙有理分類與雙正則分類(即同構(gòu)分類).若一個(gè)代數(shù)簇V1到另一個(gè)代數(shù)簇V2的映射誘導(dǎo)了函數(shù)域之間的同構(gòu)，則稱該映射為雙有理映射.設(shè)有兩個(gè)代數(shù)簇V1，V2，若V1中有一個(gè)稠密開(kāi)集同構(gòu)于V2的一個(gè)稠密開(kāi)集，則稱V1，V2是雙有理等價(jià)的.這等價(jià)于V1和V2的函數(shù)域之間的同構(gòu).按這個(gè)等價(jià)關(guān)系對(duì)代數(shù)簇進(jìn)行分類就稱為雙有理分類.分類理論是這樣建立的：首先，找出代數(shù)簇的雙有理等價(jià)類;其次，在這個(gè)等價(jià)類中找到一個(gè)好對(duì)象的子集，如非奇異射影簇，對(duì)它們進(jìn)行分類;第三步就是確定一個(gè)任意簇與這些好的對(duì)象相差多遠(yuǎn).因?yàn)槿我馓卣?的基域上的代數(shù)簇都雙有理等價(jià)于一個(gè)非奇異射影簇，所以為實(shí)現(xiàn)這三步，人們往往先找一組與非奇異射影簇對(duì)應(yīng)的整數(shù)，稱為它的數(shù)值不變量.例如，在射影簇的情形，它的各階上同調(diào)空間的維數(shù)就都是數(shù)值不變量.然后試圖在所有具有相同的數(shù)值不變量的代數(shù)簇的集合上建立一個(gè)自然的代數(shù)結(jié)構(gòu)，稱為它們的參量簇，使得當(dāng)參量簇中的點(diǎn)在某個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)中變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的代數(shù)簇也在相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中變化.目前，只有代數(shù)曲線、一部分代數(shù)曲面以及少數(shù)特殊的高維代數(shù)簇有較完整的分類.4

代數(shù)群的概念代數(shù)群（Algebraic group）是具有某種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的群。代數(shù)群理論是群論與代數(shù)幾何學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物，可以看成李群理論的推廣或者同李群理論平行的一個(gè)群論分支。若G是代數(shù)閉域K上的代數(shù)簇，又具有群的結(jié)構(gòu)，且乘法運(yùn)算G×G→G(這里的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運(yùn)算G→G都是簇的態(tài)射，則稱G為代數(shù)群。若G作為簇是不可約的，則稱此代數(shù)群是連通的。代數(shù)群的閉子簇若同時(shí)也是個(gè)子群，則稱為閉子群，它仍是個(gè)代數(shù)群。代數(shù)群關(guān)于它的正規(guī)閉子群的商群也是個(gè)代數(shù)群。例如，K上n級(jí)一般線性群(K上n級(jí)非奇異矩陣全體所成的群)GL(n，K)是代數(shù)群；K上n次特殊線性群(K上行列式1的n階矩陣全體所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子群。若代數(shù)群G的簇結(jié)構(gòu)是仿射的，則稱G為仿射代數(shù)群或線性代數(shù)群。采用后一術(shù)語(yǔ)的理由是，這種群都同構(gòu)于某個(gè)GL(n，K)的閉子群.若G的簇結(jié)構(gòu)是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的群結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)單(都是阿貝爾群)，且被簇結(jié)構(gòu)惟一決定，因此它的研究屬于代數(shù)幾何學(xué)的范疇。另一方面，對(duì)任意代數(shù)群G，總可以惟一地找到一個(gè)正規(guī)的仿射閉子群N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數(shù)群理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數(shù)群，并把仿射代數(shù)群簡(jiǎn)稱代數(shù)群。代數(shù)群及其表示理論與域論、多重線性代數(shù)、交換環(huán)論、代數(shù)幾何、李群、李代數(shù)、有限單群理論以及群表示理論等數(shù)學(xué)分支都有十分密切的聯(lián)系，是近年來(lái)代數(shù)學(xué)的一個(gè)相當(dāng)活躍的分支。5

代數(shù)群的性質(zhì)設(shè)G是一個(gè)代數(shù)簇，同時(shí)G又是一個(gè)群，而且群的運(yùn)算是簇的態(tài)射，則稱G是一個(gè)代數(shù)群。設(shè)G和G′是代數(shù)群，G到G′群同構(gòu)同時(shí)也是簇同構(gòu)稱為代數(shù)群的同構(gòu)。如果代數(shù)群的代數(shù)簇是仿射代數(shù)簇，則稱代數(shù)群為仿射代數(shù)群。下面總是只討論仿射代數(shù)群。設(shè)k是一個(gè)代數(shù)閉域，A1=k，A1在(x，y)→x+y之下作成一個(gè)代數(shù)群，記作Ga。k*=A1\{0} 在(x，y)→xy之下作成一個(gè)代數(shù)群，記作Gm。域k上全體n×n可逆矩陣在乘法之下作成一個(gè)代數(shù)群，稱為一般線性群，記作GL(n，k)。一個(gè)代數(shù)群的閉子群仍然是一個(gè)代數(shù)群。GL(l+1，k)中行列式為1的矩陣全體作成的群稱為特殊線性群 ，記作SL(l+1，k)。設(shè)J是k上l階矩陣，GL (2l，k) 的滿足x′的方程：的x的全體做成的群稱為辛群，記作Sp(2l，k)。如果Chark≠2，令，GL(2l+1，k)中滿足x′sx=s的全體x做成的群為特殊正交群，記作SO(2l+1，k)，另一種特殊正交群可以定義為：令，由GL(2l，k)中所有滿足x′sx=s的x做成的群，記作SO(2l，h)，它們稱為典型群，分別記作Al，Cl，Bl，Dl。設(shè)G是代數(shù)群，只有一個(gè)不可約分支含G的單位元e。這個(gè)分支稱為G的恒等分支。它是G的有限指數(shù)的正規(guī)子群，每個(gè)陪集作成G的一個(gè)不可約分支。G的每個(gè)有限指數(shù)的閉子群必包含于恒等分支中。如果G就是G的恒等分支，則稱G是連通的。代數(shù)群的態(tài)射是一個(gè)群同態(tài)，同時(shí)又是簇的態(tài)射。態(tài)射φ：G→G′的核Kerφ是G的閉子群，象Imφ是G′的閉子群，dimG=dim Kerφ+dim Imφ。態(tài)射φ：G→GL(n，k)稱為G的一個(gè)有理表示。設(shè)G是一個(gè)代數(shù)群，X是一個(gè)代數(shù)簇，φ：G×X→X是一個(gè)態(tài)射，滿足x1(x2y)=(x1，x2)y，ey=y，x1，x2∈G，y∈X，則稱是G在X上的一個(gè)作用。設(shè)G是一個(gè)代數(shù)群，G上的左不變導(dǎo)子作成一個(gè)李代數(shù)，稱為G的李代數(shù)，記作L(G)。設(shè)H是群G的閉子群，在齊次空間G/H上可以構(gòu)造出一個(gè)簇的結(jié)構(gòu)，若H是G的閉正規(guī)子群，則G/H也是一個(gè)代數(shù)群，維數(shù)大于0的連通的代數(shù)群G，如果除了 {e}以外，沒(méi)有別的閉的連通的正規(guī)阿貝爾子群，則稱G是半單的 (Chark=0)，GL(n，k)中由對(duì)角矩陣的全體做成的群稱為對(duì)角群，記作D(n，k)，如果G同構(gòu)于D(n，k)的某個(gè)閉子群，則稱G是可對(duì)角化的。一個(gè)代數(shù)群稱為一個(gè)環(huán)面，如果它同構(gòu)于某個(gè)D(n，k)。代數(shù)群G的極大閉連通可解子群稱為G的波雷爾子群。設(shè)H是代數(shù)G的閉子群，令NG(H)= {x∈G|xhx-∈H，h∈H}，CG(H)= {x∈G|xhx=h， h∈H}，則NG(H)和CG(H)是G的閉子群，稱為H在G中的正規(guī)化子和中心化子。設(shè)T是G的一個(gè)極大環(huán)面，有限群NG (T)/CG(T)稱為G的外爾群。6