[科普中國(guó)]-純量矩陣

定義

如果對(duì)角形矩陣A中主對(duì)角線上的元素全為k，則A=kE，E為單位陣，則稱A為純量矩陣。又或者，可以這么描述：純量矩陣是指主對(duì)角線上的元素都相同，其余元素都為0的矩陣。其數(shù)學(xué)表達(dá)形式如下：

矩陣A正好是在 的任一基中對(duì)應(yīng)于比為k 的 的同位相似的矩陣。

映射k?kE是從交換體K到全體n階純量矩陣之集上的同構(gòu)。

性質(zhì)定理1設(shè)A是數(shù)域F上n階矩陣，則下列命題等價(jià)：

(1) A是純量矩陣；

(2) A與F上任一n階矩陣都可換；

(3) A的任一相似陣必是A本身；

(4) 設(shè)(表示 i 行 j 列的元素為1，其余元素全為0的n階矩陣，)；

(5) 設(shè)同(4)，則；

(6) 設(shè)n階矩陣：

則：AH=HA，AH'=H'A（H'為H的轉(zhuǎn)置矩陣）；

(7) 設(shè)n階矩陣：

則：AU=UA，AU'=U'A（U'為U的轉(zhuǎn)置矩陣）；

(8)設(shè)n階矩陣U同(7)且：

則：AU=UA，AL=LA；

(9)設(shè)n階矩陣U同(7)，且：

則：AU=UA，AQ=QA。

定理2設(shè)A是數(shù)域F上n階矩陣，則下列命題等價(jià)：

(1) A是純量矩陣；

(2) A的極小多項(xiàng)式是一次的；

(3) A的不變因式都相等；

(4) A的不變因式都是一次的；

(5) A的行列式因子組是型如；

(6) A的初等因子全相等，且因子個(gè)數(shù)等于n；

(7) A的初等因子全相等，且A的初等因子全體等于A的不變因子全體。

定理3設(shè)A是數(shù)域F上n階矩陣，V是F上n維向量空間，線性變換A在基下的對(duì)應(yīng)陣是A，則下列命題等價(jià)：

(1) A是純量矩陣；

(2) A是純量變換，即(，是V的恒等變換)；

(3) 設(shè)B是V的任一線性變換，則AB=BA；

(4) A在V的任一基下所對(duì)應(yīng)的矩陣仍是A；

(5) V的任一子空間都是A的不變子空間；

(6) V的任一一維子空間都是A的不變子空間；

(7) 設(shè)V的基為，則都是A的不變子空間；都是A的不變子空間。

引理及定理引理引理 1：如果數(shù)域F 上 n 階方陣A 與任意n階方陣的乘法是可交換的，那么 A 一定是純量矩陣。

引理 2：數(shù)域F 上 n 階方陣A 為純量矩陣的充要條件是 A 與任何 n 階可逆矩陣的乘法可交換。

定理（1）定理 1：數(shù)域F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是：A 與所有行列式為 1 的n階矩陣可交換。

（2）定理 2：數(shù)域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是中的每個(gè)非零向量都是它的特征向量。

（3）定理 3：數(shù)域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的不變因子都不是常數(shù)。

根據(jù)定理 3 和行列式因子、初等因子、不變因子的關(guān)系，容易得到：

1）推論 1：數(shù)域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的不變因子都是一次的。

2）推論 2：數(shù)域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的 k 階行列式因子都是 k 次的。

3）推論 3：數(shù)域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的初等因子都相等，且 A 的初等因子組

為 A 的不變因子全體。

數(shù)域 F 上 n 階矩陣的相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，在相似關(guān)系下， A 的等價(jià)類稱為 A 的相似類。

（4）定理 4：數(shù)域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的相似類里只有一個(gè)元素1。