[科普中國]-狄利克雷條件

背景

傅里葉在提出傅里葉級數(shù)時堅持認為，任何一個周期信號都可以展開成傅里葉級數(shù)，雖然這個結(jié)論在當時引起許多爭議，但持異議者卻不能給出有力的不同論據(jù)。直到20年后(1829年)狄利克雷才對這個問題作出了令人信服的回答，狄利克雷認為，只有在滿足一定條件時，周期信號才能展開成傅里葉級數(shù)。這個條件被稱為狄利克雷條件。

定義狄利克雷條件(Dirichlet Conditions)

（1 ）在一周期內(nèi)，連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；

（2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應是有限個；

（3）在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的

一般我們遇到的周期信號都能滿足狄利克雷條件。

狄利克雷條件是一個信號存在傅里葉變換的充分不必要條件。

間斷點間斷點是指：在非連續(xù)函數(shù)y=f(x)中某點處xo處有中斷現(xiàn)象，那么，xo就稱為函數(shù)的不連續(xù)點。間斷點可以分為無窮間斷點和非無窮間斷點，在非無窮間斷點中，還分可去間斷點和跳躍間斷點。如果極限存在就是可去間斷點，不存在就是跳躍間斷點。

幾種間斷點常見類型。

可去間斷點：函數(shù)在該點左極限、右極限存在且相等，但不等于該點函數(shù)值或函數(shù)在該點無定義。如函數(shù)y=（x^2-1)/(x-1)在點x=1處。

跳躍間斷點：函數(shù)在該點左極限、右極限存在，但不相等。如函數(shù)y=|x|/x在點x=0處。

無窮間斷點：函數(shù)在該點可以無定義，且左極限、右極限至少有一個不存在，且函數(shù)在該點極限為∞。如函數(shù)y=tanx在點x=π/2處。

振蕩間斷點：函數(shù)在該點可以無定義，當自變量趨于該點時，函數(shù)值在兩個常數(shù)間變動無限多次。如函數(shù)y=sin(1/x)在x=0處。

可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點，1也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。

傅里葉變換傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點上，函數(shù)是有限值；在一個周期內(nèi)具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅立葉變換，②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函數(shù)，f(t)叫做F(ω)的像原函數(shù)。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。2

①傅立葉變換

②傅立葉逆變換