[科普中國]-相似變換

簡介

相似變換簡稱相似。歐幾里得幾何中的一類變換。任意兩點(diǎn)P、Q與其像點(diǎn)P'、Q'滿足（k為非零常數(shù)）的變化。常數(shù)k稱為相似比（similarity ratio）。當(dāng)k=1時，即為合同變換。相似變換可以表示成一個合同變換和一個位似變換的乘積。相似變換把圖形變成它和相似的圖形。相似變換保持兩直線所成角大小不變，并且不改變圖形形狀只改變其大小。

分類平面內(nèi)有兩種相似變換：

1、真正的相似變換（正相似變換）；

2、鏡像相似變換（負(fù)相似變換）。

真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似（正相似）的圖形，即使得兩個相似圖形的沒對對應(yīng)三角形有同一的方向，每對對應(yīng)角有同一方向。

鏡像相似變換把一個圖形換成與它鏡像相似的（負(fù)相似）圖形。即使得兩個相似圖形的每對對應(yīng)三角形有相反的方向，每對對應(yīng)角有相反的方向。

相似變換的逆變換也是相似變換，兩個相似變換的乘積仍是相似變換，所有的相似變換的全體構(gòu)成一個群，稱為相似變化群（similarity transformation group）。1

幾何圖形相似變換的性質(zhì)

圖形的相似變換不改變圖形中每一個角的大?。?/p>

圖形相似變換后對應(yīng)線段都擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，這個數(shù)叫相似比。

相似變換面積

經(jīng)相似變換的像與原圖的面積等于相似比的平方。

相似變換的分解

任何相似變換可以分解為放縮，平移，旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)變換的復(fù)合。相似變換是仿射變換的一種特殊情況，也就是在仿射變換中去除錯位變換這個因子后的結(jié)果。

矩陣的相似變換定義

設(shè)M是方陣， P是一個同階可逆矩陣（即行列式不為零，也稱非奇異矩陣），稱為M的相似變換。 其中如果M和P都可以是復(fù)數(shù)域內(nèi)的方陣，為了區(qū)別，我們通常稱為復(fù)相似變換。

任何方陣通過復(fù)相似變換可以變化到一種標(biāo)準(zhǔn)的分塊對角陣形式，其中每個分塊的對角線元相同，為矩陣M的特征值，除此以外，僅對角線上面的副對角線元素為1，其余都為0?；蛘哒f存在復(fù)可逆矩陣P，使得

其中Ri形如λI+N，其中I為單位矩陣，N為和I同階的僅對角線上面次對角線元素為1其余元素都是0的矩陣，即形如：

當(dāng)然特別的，如果Ri是一階的，I就是數(shù)字1，N是數(shù)字0。