[科普中國]-球面三角學(xué)

球面上的線

在球殼的表面，最短的距離是大圓上接近直線的弧線，也就是圓弧的圓心與球殼的球心是同一點(diǎn)。例如：地球上的子午線和赤道都是大圓。所謂行星表面的直線，就是球面上兩點(diǎn)之間最近距離的大圓弧線(如果你把自己拘束在球面上的直線上)。(參看：大地測(cè)量學(xué))

球面多邊形在球面上，由大圓的弧所包圍的區(qū)域稱為球面多邊形，但要注意，不同于平面上的情形，在球面上’雙角’是可能存在的。(兩個(gè)弧夾出兩個(gè)角的三角形類似物)(可由剝橘子時(shí)剝下來的橘子皮想像)

這些多邊形的邊長(zhǎng)(弧長(zhǎng))，可以利用球心角很方便的來測(cè)定，將弧的兩端所對(duì)應(yīng)的球心角乘上半徑便是邊長(zhǎng)。要注意的是，這些角都必須用徑度量來量度。.

因此，對(duì)一個(gè)球面三角形而言，是由他的弧長(zhǎng)與球心角來具體描述的，只是弧的長(zhǎng)度是用徑度量來標(biāo)示。

值得注意的是，球面三角形的三個(gè)內(nèi)角的和總是大于180°，但在平面上只有180°。超過180°的數(shù)值稱為球面剩馀 E：E = α + β + γ - 180°，這些結(jié)馀給出了球面三角形的面積。確定這個(gè)值，球面剩馀必須以徑度量來測(cè)定，表面積A依據(jù)球面的半徑和球面剩馀來測(cè)量：

A = 這是高斯-邦奈定理，這很明顯的顯示沒有相似的球面三角形(三角形有相同的角，但邊長(zhǎng)和面積不同)。而在特殊的情況下，球的半徑為1，則球面三角形的面積A = E。

要解球面幾何的問題，要點(diǎn)是能剖析出其中的直角三角形(三個(gè)角中有一個(gè)是90°)，因?yàn)檫@樣就可以利用納皮爾的多邊形求解。

納皮爾的圓周顯示直角三角形的部份關(guān)聯(lián)性利用納皮爾多邊形(也稱為納皮爾圓周)的口訣可以很輕易的記住球面直角三角形的所有關(guān)聯(lián)性： 以他們出現(xiàn)于球面三角形的順序，依照相鄰的邊角關(guān)系，依序?qū)⑷切蔚牧鶄€(gè)角寫在一個(gè)圈子內(nèi)，也就是開始以一個(gè)角度開始，然后在它旁邊寫上相鄰的邊的弧角度，繼續(xù)再寫下下一個(gè)角度，˙˙˙，最后結(jié)束成一個(gè)圓。然后刪除90°的角角度并且將它相鄰的弧角度替換成他們補(bǔ)角的數(shù)值(與原角弧度之和為90°) (也就是將 a 換成 90° ? a)。這五個(gè)數(shù)組成了我們需要的納皮爾多邊形(納皮爾圓周)，從這兒，可以得到每個(gè)角度的馀弦值等于：

相鄰兩角度的馀切的乘積相對(duì)兩角度的正弦的乘積可以參考半正矢(Haversine formula)，能在球面三角上解析弧長(zhǎng)與角度，為航海學(xué)提供了穩(wěn)定的模式。

球面三角形球面上過球心的平面與球面的交線叫球面上的大圓弧，球面三角形是球面上三個(gè)大圓弧所構(gòu)成的閉合圖形。如圖2所示。這三個(gè)大圓弧叫做球面三角形的邊，用小寫字母a、b、c表示，各大圓弧組成的球面角．叫做球面三角形的角．用大寫字母A、B、C表示。

將球面三角形ABC的各頂點(diǎn)與球心O連接，構(gòu)成球心三面形O一ABC，由于圓的圓心角與所對(duì)的弧同度，如圖2所示，則有：a=∠BOC,b=∠AOC,c=∠AOB.又知：A=∠TAT',B=∠EBE',C=∠FCF'.所以，球面三角形的邊與所對(duì)應(yīng)的球心三面角同度，球面三角形的角與球心三面角同度。

例如球面三角形三個(gè)角都是 ( 弧度)時(shí)，每個(gè)邊長(zhǎng)都是大圓弧的1/4，大圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，其1/4則為 。1

球面角超球面三角形三內(nèi)角之和與平面三角形三內(nèi)角之和的差叫做球面角超 ，即：

球面角超 的計(jì)算公式：

式中．S為球面三角形的面積；R為球的半徑。

如上例，球面三角形三個(gè)角都是 ( 弧度)時(shí)．其面積為整個(gè)球面的1/8，球面積為 ．其1/8為 ．代入式 可求出該球面三角形的球面角超為 。與用式 計(jì)算結(jié)果一致。1

球面三角形的公式球面三角形的基本公式球面三角形的基本公式(又叫基本定理)有正弦公式、邊的余弦公式、角的余弦公式、余切公式、五元素公式等。除正弦公式外，每一類公式僅舉一例如下。

如圖1所示的球面三角形中，正弦公式有：

邊的余弦公式有：

角的余弦公式有：

余切公式有：

五元素公式有：

解算球面直角三角形公式球面三角形中只要有一個(gè)角等于 ，該球面三角形就是球面直角三角形。知道球面三角形中的部分元素求解另一部分元素叫解球面直角三角形。解球面直角三角形的公式很多，僅舉幾例。

已知兩直角邊b、c，求斜邊a：

已知斜邊a和一直角邊b，求直角邊b所對(duì)應(yīng)的角度B：

已知兩銳角B、C，求B、C所夾的斜邊a：

解算球面斜三角形公式解算球面斜三角形公式多為半角函數(shù)公式。設(shè)，有：

正切定理：

半球面角超的正弦定理：