[科普中國]-事件域

基礎知識

自然界中的有兩類現(xiàn)象，確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象。

確定性現(xiàn)象：在一定的條件下必然發(fā)生(或不發(fā)生)某種結果的現(xiàn)象。

例如：太陽從東方升起；水在標準大氣壓下加溫到100℃沸騰。

隨機現(xiàn)象：在基本條件不變的條件下，一系列試驗(或觀察)常會得到不同的結果。

例如：擲一枚硬幣，正面朝上或反面朝上；一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù)。

隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性： 隨機現(xiàn)象的各種結果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為統(tǒng)計規(guī)律性。

隨機事件的特征是具有現(xiàn)象的不確定性，但是我們可以通過重復觀測，從不確定現(xiàn)象中尋找、觀察特定事件發(fā)生的規(guī)律，為此需要讓某一隨機現(xiàn)象重復發(fā)生（不一定是人為控制的）并記錄觀測結果，稱之為隨機試驗

隨機試驗的三個特征：①可以在相同條件下重復進行；②事先知道可能出現(xiàn)的結果；③進行試驗前并不知道哪個試驗結果會發(fā)生。

樣本點：隨機試驗的每一個可能結果。

樣本空間：雖然隨機事件的結果是不確定的，但結果的范圍必須是已知的，可以描述的。把隨機試驗的每一種可能出現(xiàn)的（不能再分割的）結果稱為隨即試驗的樣本點或者基本事件，所有可能結果的集合，也就是樣本點的總和稱為隨機試驗的樣本空間。樣本空間分為三類：離散樣本空間、連續(xù)樣本空間、混合型1。

定義事件域的元素應該包括樣本空間和空集；其次應該保證事件經(jīng)過并、交、差、對立各種運算后仍然是事件，即其對集合的運算有封閉性。（交的運算可以通過并與對立來實現(xiàn)；差的運算可通過對立與交來實現(xiàn)）。

設Ω為樣本空間，F(xiàn) 是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點：

1. ；2.若 ，則 ；3.若 ，n=1,2...，則 。

則稱 F 為波雷爾**（****Borel**事件域），或 事件域或 代數(shù)。波雷爾事件域中每一個樣本空間的子集稱為一個事件。（ Ω，F(xiàn) ）為可測空間2。

基本類型1.樣本空間包含可列（可數(shù)）的元素，從而事件域包含可列個事件，生成的概率是離散型概率；

2.樣本空間包含不可數(shù)的元素，從而事件域包含不可數(shù)的事件，生成的概率是連續(xù)型概率3。

相關內(nèi)容樣本空間Ω與事件域F是抽象的、理論上是存在的；

事件域 F是集類，隨機事件是集合且是 F中的元素；

事件必是樣本空間的子集，但樣本空間的子集并非是事件；

必然事件與不可能事件也稱為隨機事件；

事件發(fā)生是指當且僅當出現(xiàn)了該事件所含的某一基本事件2。

例子分析例1.擲一枚硬幣。

分析：出現(xiàn)“正面”、“反面”都是基本事件。這兩個基本事件構成一個樣本空間。在例1中共有兩個樣本點：“正面”，“反面”。作F={正面或反面，正面，反面，空集}，它構成一個波雷爾事件域，其中每一個元素都是一個事件。需要說明，F(xiàn)表達式中的花括號。是指事件的集合。

例2.擲一顆骰子。

分析：出現(xiàn)“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”、“6點”都是基本事件。這六個基本事件構成一個樣本空間。在例2中共有六個樣本點，記 為出現(xiàn)“i點”的樣本點，i=1,2,3,4,5,6。作F={ ... ，( )， ... ， ， ... ， ... ， ... ， 它構成一個波雷爾事件域。這里每一對小括號表示它所包含的樣本點的集合。3