[科普中國(guó)]-子域

定義

設(shè) 是一個(gè)域，K是F的一個(gè)非空子集，如果 ，且 是域，則稱域K是域F的一個(gè)子域，域F是域K的一個(gè)擴(kuò)域。

例1 全體有理數(shù)的集合Q、全體實(shí)數(shù)的集合R以及全體復(fù)數(shù)的集合C關(guān)于普通的加法和乘法均形成域。另外，對(duì)于任意的素?cái)?shù)p， 關(guān)于普通的加法和乘法也形成域。而且Q是 的子域， 是R的子域，R是C的子域。

容易證明K是F的子域當(dāng)且僅當(dāng) 和 同時(shí)成立。如果一個(gè)域F'與另一個(gè)域F的某個(gè)子域K同構(gòu)，則可以將域F'與域K等同，從而將域F'視為域F的一個(gè)子域。2

相關(guān)定理定理1設(shè)域K是域F的一個(gè)子域，則域F的加法群 是子域K上的一個(gè)線性空間。

證明：取數(shù)乘運(yùn)算為域F的乘法，則線性空間定義中的幾個(gè)條件都是自然成立的。根據(jù)此定理，可以將域F稱為子域K上的一個(gè)線性空間。

定義 設(shè)域K是域F的一個(gè)子域。若子域K上線性空間F的維數(shù)為m，則稱域F是域K的一個(gè)m次擴(kuò)域，并稱此m維線性空間的每一個(gè)基 為域F關(guān)于域K的一個(gè)基，同時(shí)稱此線性空間的線性變換為域F關(guān)于域K的線性變換。

例2 每一個(gè)域 是該域F上的一個(gè)一維線性空間，每一個(gè)都是該線性空間的基。

例3 復(fù)數(shù)域C是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)二維線性空間，向量組 是一個(gè)基，這里 為虛數(shù)單位。

應(yīng)當(dāng)指出，若K是F的子域，A是K上的一個(gè)m階方陣。如果A作為F上的方陣可逆，則其逆方陣必然也是K上的m階方陣。2

定理2設(shè) 是特征為p的有限域，,K是F的一個(gè)非空子集，是F的子域當(dāng)且僅當(dāng)存在使

定理3設(shè)是特征為p的有限域，q是素?cái)?shù)p的任意正整數(shù)次冪，。對(duì)于每一個(gè)，F有唯一的一個(gè)階子域，其中2