[科普中國(guó)]-平面束

有軸平面束

定義空間中通過(guò)同一直線的所有平面的集合叫做有軸平面束，那條直線叫做平面束的軸。

方程推導(dǎo)通過(guò)空間直線L的平面有無(wú)窮多個(gè)，將通過(guò)空間直線L的所有平面的集合稱(chēng)為過(guò)直線L的的平面束，設(shè)直線L的一般式方程為2

其中系數(shù) 與 不成比例，構(gòu)造一個(gè)三元一次方程：

其中 為任意實(shí)數(shù)，則上式可寫(xiě)成

由于系數(shù)與 與 不成比例，所以對(duì)于任何實(shí)數(shù) ，上述方程的一次項(xiàng)系數(shù)不全為零，從而它表示一個(gè)平面，對(duì)于不同的 值，所對(duì)應(yīng)的平面也不同，而且這些平面都通過(guò)直線L，也就是說(shuō)，這個(gè)方程表示通過(guò)直線L的一族平面，另一方面，任何通過(guò)直線L的平面也一定包含在上述通過(guò)L的平面族中，因此，上述方程

就是通過(guò)直線L的平面束方程。2

特殊情況特別地，取 時(shí)，上述方程 化為

上式表示除了平面 之外的過(guò)直線L的平面束。

取 時(shí)化為

表示除了平面 之外的過(guò)直線L的平面束。2

平行平面束定義空間中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束。3

方程推導(dǎo)由平面 決定的平行平面束的方程為

其中 為任意實(shí)數(shù)。

證明 首先，對(duì)任意的實(shí)數(shù)A，方程 總表示由平面 決定的平行平面束中的平面，當(dāng) =D時(shí)，它表示平面 ；當(dāng) 時(shí)，它表示與平面 平行的平面。

反過(guò)來(lái)，對(duì)于由平面 決定的平行平面束中任一平面 '，它的方程總可表示成 方程

的形式，事實(shí)上，若取平面 ’上一點(diǎn) ，則可取 ，使平面'的方程表示成方程 的形式：

綜上，方程 是由平面 決定的平行平面束的方程。3