[科普中國]-單射

例子反例

對任一集合X，X上的恒等函數(shù)為單射的。2

函數(shù)f : R → R，其定義為f(x) = 2x + 1，是單射的。

函數(shù)g : R → R，其定義為g(x) = x^2，不是單射的，因為g(1) = 1 = g(?1)。但若將g的定義域限在非負數(shù)[0,+∞)內(nèi)或非正數(shù)(-∞,0]內(nèi)，則g是單射的。

指數(shù)函數(shù)exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是單射的。

自然對數(shù)函數(shù)ln：(0，+∞) → R：x → ln x是單射的。

函數(shù)g : R → R，其定義為g(x) = x^3 ? x，不是單射的，因為 g(0) = g(1)。

更一般地說，當(dāng)X和Y都是實數(shù)線 R'，則單射函數(shù)f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

可逆函數(shù)另一單射函數(shù)的定義為其作用可取消的函數(shù)。更精確地說，f : X → Y為單射，若存在一函數(shù)g : Y → X，使得對所有X內(nèi)的x，g(f(x)) = x，亦即g o f 等同于X上的恒等函數(shù)。

注意，g不一定是一f的完全反函數(shù)，因為其他順序的復(fù)合f o g不一定是在X上的恒等函數(shù)。

事實上，將一單射函數(shù)f : X → Y變成一雙射函數(shù)，只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其對所以X內(nèi)的x，g(x) = f(x)；如此g便為單射的了。確實，f可以分解成inclJ,Yog，其中inclJ,Y來由J至Y的內(nèi)含映射。

其他性質(zhì)若f和g皆為單射的，則f o g亦為單射的。

若g o f為單射的，則f為單射的(但g不必然要是)。

f : X → Y是單射的當(dāng)且僅當(dāng)給定兩函數(shù)g、h : W → X會使得f o g = f o h時，則g = h。

若f : X → Y為單射的且A為X的子集，則f ?1(f(A)) = A。所以，A可以從其值域f(A)找回。

若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集，則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。

任一函數(shù) h : W → Y 皆可分解為 h = f o g 其中 f 是單射而 g 是滿射。此分解至多差一個自然同構(gòu)， f 可以設(shè)想為從 h(W) 到 Y 的內(nèi)含映射。

若 f : X → Y 是單射，則在基數(shù)的意義下 Y 的元素數(shù)量不少于 X。

若 X 與 Y 皆為有限集，則 f : X → Y 是單射當(dāng)且僅當(dāng)它是滿射。

內(nèi)含映射總是單射。

范疇論的觀點以范疇論的語言來說，單射函數(shù)恰好是集合范疇內(nèi)的單態(tài)射。