[科普中國(guó)]-法平面

法平面方程

設(shè)空間曲線T由參數(shù)方程

表示，其中 、 、 都是在 上可導(dǎo)的函數(shù)，且 ， ， 不全為0。

考慮曲線T上對(duì)應(yīng)于 的一點(diǎn) 及對(duì)應(yīng)于 的鄰近一點(diǎn) ，根據(jù)空間解析幾何知，曲線的割線 的方程是

或

當(dāng)點(diǎn)M沿曲線T趨向于點(diǎn) 時(shí)，割線 的極限位置 就是曲線T在點(diǎn) 處的切線。

通過對(duì)上式取極限，即得曲線T在點(diǎn) 處的切線方程

切線的方向向量稱為曲線T在點(diǎn) 處的切向量，它是一個(gè)非零向量。若 、 、 中個(gè)別為0，切線方程應(yīng)按空間解析幾何中有關(guān)直線的對(duì)稱式方程的說明來理解。

通過點(diǎn) 而與切線垂直的平面稱為曲線T在點(diǎn) 處的法平面。它是通過點(diǎn) 而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為

公式推廣1、如果空間曲線T以形式給出，可以選x為參數(shù)從而將曲線方程改為

x=x

，都在處可導(dǎo)，則T上點(diǎn)處的切向量可取為

從而點(diǎn)處的切線方程為

法平面方程為

2、如果空間曲線T以

的形式給出，是曲線T上的一點(diǎn)，不難推得，曲線T上點(diǎn)處的切線方程為

曲線T上點(diǎn)處的法平面方程為

這里的行列式表示行列式在點(diǎn)的值。2