[科普中國(guó)]-非結(jié)合代數(shù)

定義

從結(jié)合代數(shù)的定義中把乘法適合結(jié)合律這一條件刪去，就是非結(jié)合代數(shù)的定義。李代數(shù)、若爾當(dāng)代數(shù)、交錯(cuò)代數(shù)，以及李型代數(shù)、若爾當(dāng)型代數(shù)都是非結(jié)合代數(shù)最重要的類型。非交換若爾當(dāng)代數(shù)、右交錯(cuò)代數(shù)、交錯(cuò)李代數(shù)、馬爾采夫代數(shù)、冪結(jié)合代數(shù)則是李代數(shù)、交錯(cuò)代數(shù)或若爾當(dāng)代數(shù)的推廣。非結(jié)合代數(shù)中的乘法往往滿足某些恒等式。

環(huán)論環(huán)論是研究環(huán)的性質(zhì)及其運(yùn)算 規(guī)律的代數(shù)分支學(xué)科。近代環(huán)論也 包含了非結(jié)合代數(shù)?！碍h(huán)”是抽象代 數(shù)研究中的基本對(duì)象之一。

環(huán)和理想的構(gòu)造在19世紀(jì)已為 人熟知，并應(yīng)用在戴德金(Dedekind，R.)和克勞尼克(Kronecker， L.)等關(guān)于代數(shù)數(shù)的著作中?？藙?尼克(Kronecker，L.)將環(huán)稱為“order”，希爾伯特(Hilbert，D.)才引 進(jìn)了“ring (環(huán))”這一詞。但是抽 象的理論是在20世紀(jì)發(fā)展起來(lái) 的。至諾德愛(ài)米(Noether，N.)將其 置于系統(tǒng)化和公理化的基礎(chǔ)上。

環(huán)論和群的概念有密切關(guān)系， 設(shè)S是一個(gè)集合，它在加法之下 構(gòu)成Abel群，在乘法運(yùn)算之下是 半群，對(duì)加法滿足分配律，即對(duì)：

?a， b， c∈S

a(b+c)=ab+ac

(a+b)c=ac+bc

在環(huán)中，對(duì)乘法而言：ab=0?a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，則 說(shuō)a是S中的一個(gè)左 (右) 零因 子。不含零因子的交換環(huán)稱為整 環(huán)。數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)也是整環(huán)。 n階矩陣環(huán)則不是整環(huán)。

正如不變子群在群的研究中所 起作用一樣，理想的概念對(duì)環(huán)的研 究至關(guān)重要。對(duì)環(huán)S中的非空子集 A，如果A關(guān)于S中的兩種運(yùn)算構(gòu) 成環(huán)，則A是S的子環(huán)。進(jìn)一步， 對(duì)S中的子環(huán)A， 如果?m∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，則A稱為環(huán)S 的一個(gè)理想。顯然S中理想的交集 仍是S的理想，當(dāng)A是環(huán)S的一個(gè) 理想時(shí)，由加法運(yùn)算作出商群 S/A，此商群對(duì)乘法而言，易證其 為半群，從而S/A構(gòu)成環(huán)，稱為 商環(huán)，或稱S關(guān)于A的剩余類環(huán)。

環(huán)的同態(tài)和同構(gòu)是研究環(huán)的重 要工具。

設(shè)f是環(huán)A到環(huán)ā的一個(gè)映 照， 如果對(duì)?a·b∈A有f(a+b) =f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，則說(shuō)f 是A到ā的同態(tài)映照， 當(dāng)f是滿射 時(shí)， 則說(shuō)f是A到ā的滿同態(tài); 而 如果f是雙射， 則稱f是A和ā的 同構(gòu)映照， 并說(shuō)A和ā同構(gòu)，記 為A?ā。

設(shè)f是A到A的同態(tài)映照，o 是中零元素 (加群的單位元) 記 kerf={x∈A|f(x)=0}稱為同態(tài)映 照f(shuō)之核，kerf關(guān)于加法構(gòu)成群， 關(guān)于乘法構(gòu)成半群。 又?x∈A， y ∈kerf，

f(xy)=f(x) f(y)=0

f(yx)=f(y) f(x)=0

∴xy，yx∈kerf，故kerf為A 的一個(gè)理想。由此可得環(huán)的同態(tài)基 本定理。

A是環(huán)，則A的任一商環(huán)都 是A的同態(tài)象， 反之， 如果ā是 A在f之下的同態(tài)象，則有

A?A/kerf

由環(huán)的概念，可引伸出代數(shù)的 概念，設(shè)S是一個(gè)環(huán)，如果作為 加法群，它是域K上的向量空 間，域K上的數(shù)乘和S上的乘法 可交換，即α∈K，a·b∈S，則 (αa)b=α(ab)，則S稱為一個(gè) 代數(shù)，進(jìn)一步可討論代數(shù)的表示理 論。

環(huán)論在域論中起決定性作 用，在泛函分析中也獲得廣泛應(yīng)用。

類型李代數(shù)李代數(shù)是一種非結(jié)合代數(shù),其乘法滿足恒等式:x2=0和(xy)z+(yz)x+(zx)y=0。在一個(gè)域F（特征非2）上結(jié)合代數(shù)〈A,+,·〉中，將原來(lái)的有結(jié)合律的乘法·換成新引入的乘法×：

得到的〈A，+，×〉就是一個(gè)李代數(shù)。由結(jié)合代數(shù)A如此得來(lái)的李代數(shù)，記作A_。

若爾當(dāng)代數(shù)若爾當(dāng)代數(shù)是20世紀(jì)30年代P.若爾當(dāng)、J.馮·諾伊曼和E.威格納等人，在研究量子力學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)引用的一種非結(jié)合代數(shù)。在描述量子力學(xué)基礎(chǔ)時(shí)涉及結(jié)合代數(shù)〈A，+,·〉（希爾伯特空間的算子代數(shù)）中，將原來(lái)的有結(jié)合律的乘法·換成新的乘法：

就得到非結(jié)合代數(shù)〈A，+，。〉，其中乘法。滿足恒等式x。y=y。x和x2。(y。x)=(x2。y)。x，這里x2=x。x；后來(lái),就把滿足這兩個(gè)恒等式的代數(shù)稱為若爾當(dāng)代數(shù), 并將如此得出的若爾當(dāng)代數(shù)記作 A+。之所以規(guī)定乘法。 如(2)，是因?yàn)榭紤]到:若x、y都是埃爾米特算子,則x。y也是埃爾米特算子，但一般說(shuō)來(lái)，x·y已不是埃爾米特算子。

李型代數(shù)和若爾當(dāng)型代數(shù)的概念，早在20世紀(jì)40年代末期就由A.A.阿爾貝特提出來(lái)了，但它的重要性還是自70年代以來(lái)由于理論物理的需要，例如在統(tǒng)計(jì)物理、力學(xué)、原子物理中討論無(wú)勢(shì)相互作用等，才顯示出來(lái)。所謂一個(gè)代數(shù)〈A,+,·〉為李型代數(shù)，是指〈A，+,×〉是李代數(shù),其中新乘法×由(1)定義。結(jié)合代數(shù)和李代數(shù)都是李型代數(shù)。所謂一個(gè)代數(shù)〈A,+,·〉為若爾當(dāng)型代數(shù)，是指〈A,+,?！凳侨魻柈?dāng)代數(shù),其中新乘法。由(2)定義。結(jié)合代數(shù)和交錯(cuò)代數(shù)都是若爾當(dāng)型代數(shù)。2

交錯(cuò)代數(shù)交錯(cuò)代數(shù)的產(chǎn)生是由于推廣數(shù)系。令Q表實(shí)數(shù)域R上四元代數(shù)。它是可除結(jié)合代數(shù)，取其標(biāo)準(zhǔn)基1,i,j,k,則Q中元素 α有惟一的表示式：

再定義α的共軛元為：

則α→是Q的一個(gè)對(duì)合,且有α=α∈R,α+∈R。所謂Q的一個(gè)對(duì)合,是指Q 的反自同構(gòu),且其平方等于恒等自同構(gòu)。

、、式子仿照由復(fù)數(shù)作四元數(shù)的方法，用四元數(shù)來(lái)構(gòu)造八元數(shù)即凱萊數(shù)。令C是一切四元數(shù)對(duì)(α,b)的集合，規(guī)定式子，其運(yùn)算：(α,b)+(с,d)=(α+с,b+d);α(α,b)=(αα,αb)；(α，b)·(с,d)=(αс-b,dα=b)，這里α,b,с,d∈Q,、分別是с、d的共軛元,α ∈R。由直接驗(yàn)證可知，C 是實(shí)數(shù)域R上的8維代數(shù)，有單位元(1,0)。它是可除代數(shù),即對(duì)于任意u,v∈C,u≠0，在C 中ux=v和xu=v有解。它的乘法不適合結(jié)合律，卻滿足恒等式x2y=x(xy)和yx2=(yx)x 。把滿足這兩個(gè)恒等式的代數(shù)稱為交錯(cuò)代數(shù)。凱萊代數(shù)是交錯(cuò)可除代數(shù)的一個(gè)例子。結(jié)合代數(shù)是交錯(cuò)代數(shù)?？坍嫿诲e(cuò)代數(shù)與結(jié)合代數(shù)的接近程度的是阿廷定理：一個(gè)代數(shù)A是交錯(cuò)代數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)其中任意兩個(gè)元素生成的子代數(shù)是結(jié)合代數(shù)。

冪結(jié)合代數(shù)所謂冪結(jié)合代數(shù)，是指一代數(shù)中任意元素生成的子代數(shù)都是結(jié)合代數(shù)?？梢宰C明，以上提到的各種類型代數(shù)都是冪結(jié)合代數(shù)。

在非結(jié)合代數(shù)中進(jìn)行計(jì)算時(shí)，某些恒等式具有很重要的作用。在交錯(cuò)代數(shù)中有常用的毛凡恒等式:x(yzy)=[(xy)z]y,(yzy)x=y[z(yx)]，(xy)(zx)=x(yz)x；在若爾當(dāng)代數(shù)中有常用的恒等式: {xyx}2={x{yx2y}x}，zU（xU(y)）=zU)U(x)U(y)，其中{xyx}=(xy)z+(yz)x－(xz)y，而算子：。

這里的第二個(gè)恒等式，常稱為麥克唐納恒等式。3

理論發(fā)展非結(jié)合代數(shù)理論在很大程度上是沿著結(jié)合環(huán)與結(jié)合代數(shù)的發(fā)展道路發(fā)展的。結(jié)合環(huán)與結(jié)合代數(shù)的發(fā)展初期，大致可分為三個(gè)階段：有限維代數(shù)的韋德伯恩理論，對(duì)右理想適合極小條件的環(huán)的阿廷理論，以雅各布森根和本原環(huán)理論為中心的一般環(huán)理論。目前，各種非結(jié)合代數(shù)都有著不同的發(fā)展深度，有些還處于一種相當(dāng)于結(jié)合代數(shù)的韋德波恩理論的階段，例如馬爾采夫代數(shù)，而交錯(cuò)代數(shù)和若爾當(dāng)代數(shù)的發(fā)展最快，大致完成了上述結(jié)合環(huán)的三個(gè)階段。以下是關(guān)于交錯(cuò)代數(shù)和若爾當(dāng)代數(shù)的一些結(jié)果的簡(jiǎn)介。

推廣的弗羅貝尼烏斯定理：實(shí)數(shù)域上有限維交錯(cuò)可除代數(shù)只有實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域、四元數(shù)代數(shù)以及凱萊代數(shù)等四種。它們?cè)趯?shí)數(shù)域上的維數(shù)是 1,2,4,8。與此定理有關(guān)的一個(gè)有趣問(wèn)題是：在實(shí)數(shù)域中,n個(gè)平方數(shù)的和乘以n個(gè)平方數(shù)的和，仍是n個(gè)平方數(shù)的和嗎？利用這個(gè)定理中的四種代數(shù)以及其中的共軛元素概念，不難作出當(dāng)n=1,2,4,8時(shí)確是成立的結(jié)論。A. 胡爾維茨以及阿爾貝特指出，n只能是1,2,4,8，從而完滿地解決了這個(gè)問(wèn)題。

R.博特、J.W.米爾諾和M.克拉爾應(yīng)用代數(shù)拓?fù)涔ぞ撸C明了一個(gè)重要的定理：實(shí)數(shù)域上有限維(非結(jié)合)可除代數(shù)的維數(shù)，只能是1,2,4,8。

阿爾貝特、R.D.謝弗、A.J.佩尼羅和M.佐恩等人證明了與有限維結(jié)合代數(shù)的韋德伯恩定理相平行的關(guān)于交錯(cuò)代數(shù)和若爾當(dāng)代數(shù)的定理。

單代數(shù)的分類是有限維代數(shù)研究中的一個(gè)重要問(wèn)題。設(shè)A是域F上有限維單代數(shù)，而且是交錯(cuò)代數(shù)或若爾當(dāng)代數(shù)，此時(shí)A必有單位元1,定義C={с|с∈A,сx=xс,с,x,y之間的乘法適合結(jié)合律,凬x，y∈A}是A的中心。可以證明，C必是一個(gè)域。如果C=F,那么A稱為F上中心單代數(shù)。交錯(cuò)單代數(shù)的品種不多，域F上有限維中心單代數(shù),或是結(jié)合代數(shù),或是F上凱萊-迪克森代數(shù)。任意域F上的凱萊-迪克森代數(shù)是F上8維代數(shù),其定義與實(shí)數(shù)域上凱萊代數(shù)的定義類似，它是實(shí)數(shù)域上凱萊代數(shù)的推廣，其中也有共軛元素的概念。E.克萊因菲爾德把上述結(jié)果推廣到任意交錯(cuò)環(huán)上。

中心單若爾當(dāng)代數(shù)的類型則較多,有A、B、C、D、K型。僅僅就例外單若爾當(dāng)代數(shù)(K型單代數(shù))而論,它和五個(gè)例外單李代數(shù)類型處于類似的地位。取D為域F上的一個(gè)凱萊－迪克森代數(shù),D3表D上三階矩陣組成的代數(shù)，任取，令，即將矩陣X轉(zhuǎn)置,并把每一系數(shù)換成其共軛元素?？芍成洌?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/obNagY37puRbHebucOMGDvVPGsoT23zCgwUu.jpg" alt="" />是F上代數(shù)D3的一個(gè)對(duì)合。令，即H(D3)是D3中關(guān)于對(duì)合的所有埃爾米特元素的全體?？梢宰C明，H(D3)關(guān)于若爾當(dāng)乘法作成一個(gè)若爾當(dāng)代數(shù)。注意到D是F上 8維交錯(cuò)代數(shù)，還可以證明是F上中心單代數(shù)，其維數(shù)是27，并且是例外若爾當(dāng)代數(shù)。例外單李代數(shù)與凱萊－迪克森代數(shù)也有密切關(guān)系。所謂例外的若爾當(dāng)代數(shù)，即指不是特殊的若爾當(dāng)代數(shù)。若A是結(jié)合代數(shù),則A _是李代數(shù)，A+是若爾當(dāng)代數(shù)。A_(A+)、A_(A+)的子代數(shù)以及與之同構(gòu)者,稱為特殊李代數(shù)（特殊若爾當(dāng)代數(shù)）。雖然不是每一個(gè)李環(huán)都是特殊的，但是著名的伯克霍夫－維特定理指出，域上李代數(shù)都是特殊的。Α.И.希爾紹夫的定理又指出，任意具有兩個(gè)生成元的若爾當(dāng)代數(shù)（環(huán)）是特殊的。

K.A.日弗拉科夫完整地刻畫了阿廷交錯(cuò)環(huán)。由于缺乏適當(dāng)?shù)摹皢蝹?cè)理想”概念，長(zhǎng)期未能定出與阿廷結(jié)合環(huán)相平行的阿廷－若爾當(dāng)環(huán)的概念。 D.M.托平引入二次理想概念：如果對(duì)若爾當(dāng)環(huán) A的子環(huán) B的任意元素 b有AU(b)吇B,那么B 稱為二次理想。N.雅各布森刻畫了對(duì)二次理想有極小條件的若爾當(dāng)環(huán)，與結(jié)合環(huán)中的阿廷理論相平行。利用算子U可定義二次若爾當(dāng)代數(shù),K.麥克里芒作了許多貢獻(xiàn)。結(jié)合環(huán)的雅各布森根和萊維茨基根等在若爾當(dāng)環(huán)和交錯(cuò)環(huán)中，都有相應(yīng)的討論。對(duì)交錯(cuò)代數(shù)和若爾當(dāng)代數(shù)都有表示論的研究。交錯(cuò)環(huán)與若爾當(dāng)環(huán)和投射平面有聯(lián)系。若爾當(dāng)代數(shù)不僅與李代數(shù)、代數(shù)群有著聯(lián)系，而且對(duì)實(shí)分析和復(fù)分析都有應(yīng)用。4