[科普中國(guó)]-重根

定義

如果 有 重因式 ，即

其中， 是大于1的自然數(shù)， 是不含因式 的多項(xiàng)式，則稱 存在重根 ，且其重?cái)?shù)為 。1

性質(zhì)根據(jù)多項(xiàng)式乘積的導(dǎo)數(shù)公式，對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)可得：

上式中，由于 不含因式 ，而 含有因式 ，于是括號(hào)中的 不含有因式 ，因此 是 的 重根。由此可以得到多項(xiàng)式重根有以下性質(zhì)：

①多項(xiàng)式的重根也是它的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的根，且作為導(dǎo)數(shù)根的重?cái)?shù)少1。

②當(dāng)且僅當(dāng)多項(xiàng)式 與它的導(dǎo)數(shù) 的最高公因式是零次多項(xiàng)式時(shí)，多項(xiàng)式 才沒(méi)有重根。1

應(yīng)用舉例判斷方程 有沒(méi)有重根。

解：設(shè) ，則 ，即 和 是 的根，先將這兩根分別代入，由于是的根，所以是多項(xiàng)式與它的導(dǎo)數(shù)的公根，它就是的重根；而不是的根。1