[科普中國(guó)]-向量積

基本概念表示方法

兩個(gè)向量a和b的叉積寫作a×b（有時(shí)也被寫成a∧b，避免和字母x混淆）。1

定義向量積可以被定義為： 。

模長(zhǎng)：（在這里θ表示兩向量之間的夾角(共起點(diǎn)的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于這兩個(gè)矢量所定義的平面上。）

方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個(gè)向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個(gè)簡(jiǎn)單的確定滿足“右手定則”的結(jié)果向量的方向的方法是這樣的：若坐標(biāo)系是滿足右手定則的，當(dāng)右手的四指從a以不超過(guò)180度的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向b時(shí)，豎起的大拇指指向是c的方向。）

也可以這樣定義（等效）：

向量積|c|=|a×b|=|a| |b|sin

即c的長(zhǎng)度在數(shù)值上等于以a，**b，**夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

而c的方向垂直于a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定。

*運(yùn)算結(jié)果c是一個(gè)偽向量。這是因?yàn)樵诓煌淖鴺?biāo)系中c可能不同。1

坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) =( )， =( )。i，j，k分別是X，Y，Z軸方向的單位向量，則1：

a×b=( - )i+( - )j+( - )k,為了幫助記憶，利用三階行列式，寫成det

證明為了更好地推導(dǎo)，我們需要加入三個(gè)軸對(duì)齊的單位向量i,j,k。

i,j,k滿足以下特點(diǎn)：

i = j x k； j = k x i；k = i x j；

k x j = –i；i x k = –j； j x i = –k；

i x i = j x j = k x k = 0；(0是指0向量）

由此可知，i,j,k是三個(gè)相互垂直的向量。它們剛好可以構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)系。

這三個(gè)向量的特例就是 i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)。

對(duì)于處于i,j,k構(gòu)成的坐標(biāo)系中的向量u,v我們可以如下表示：

u = Xu*i + Yu*j + Zu*k；

v = Xv*i + Yv*j + Zv*k；

那么 u x v = (Xu*i + Yu*j + Zu*k) x (Xv*i + Yv*j + Zv*k)

= Xu*Xv*(i x i) + Xu*Yv*(i x j) + Xu*Zv*(i x k) + Yu*Xv*(j x i) + Yu*Yv*(j x j) + Yu*Zv*(j x k) + Zu*Xv*( k x i ) + Zu*Yv*(k x j) + Zu*Zv*(k x k)

由于上面的i,j,k三個(gè)向量的特點(diǎn)，所以，最后的結(jié)果可以簡(jiǎn)化為

u x v = (Yu*Zv – Zu*Yv)*i + (Zu*Xv – Xu*Zv)*j + (Xu*Yv – Yu*Xv)*k。1

與數(shù)量積的區(qū)別注：向量積 ≠向量的積（向量的積一般指點(diǎn)乘）

一定要清晰地區(qū)分開向量積（矢積）與數(shù)量積（標(biāo)積）。見下表。1

|| || 向量積（矢積）與數(shù)量積（標(biāo)積）的區(qū)別

性質(zhì)幾何意義及其運(yùn)用叉積的長(zhǎng)度 |a×b| 可以解釋成這兩個(gè)叉乘向量a,b共起點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成平行四邊形的面積。據(jù)此有：混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。1

代數(shù)規(guī)則1.反交換律：a×b= -b×a

2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c

3.與標(biāo)量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

4.不滿足結(jié)合律，但滿足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

5.分配律，線性性和雅可比恒等式別表明：具有向量加法和叉積的 R3 構(gòu)成了一個(gè)李代數(shù)。

6.兩個(gè)非零向量a和b平行，當(dāng)且僅當(dāng)a×b=0。1

拉格朗日公式這是一個(gè)著名的公式，而且非常有用：

(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),

證明過(guò)程如下：

二重向量叉乘化簡(jiǎn)公式及證明

可以簡(jiǎn)單地記成“BAC - CAB”。這個(gè)公式在物理上簡(jiǎn)化向量運(yùn)算非常有效。需要注意的是，這個(gè)公式對(duì)微分算子不成立。

這里給出一個(gè)和梯度相關(guān)的一個(gè)情形：

這是一個(gè)霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一個(gè)有用的拉格朗日恒等式是：

這是一個(gè)在四元數(shù)代數(shù)中范數(shù)乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。2

矩陣形式給定直角坐標(biāo)系的單位向量i，j，k滿足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通過(guò)這些規(guī)則，兩個(gè)向量的叉積的坐標(biāo)可以方便地計(jì)算出來(lái)，不需要考慮任何角度：設(shè)

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；

則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。

叉積也可以用四元數(shù)來(lái)表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數(shù)的乘法。一般而言，若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數(shù) a1i+ a2j+ a3k，兩個(gè)向量的叉積可以這樣計(jì)算：計(jì)算兩個(gè)四元數(shù)的乘積得到一個(gè)四元數(shù)，并將這個(gè)四元數(shù)的實(shí)部去掉，即為結(jié)果。更多關(guān)于四元數(shù)乘法，向量運(yùn)算及其幾何意義請(qǐng)參看四元數(shù)（空間旋轉(zhuǎn)）。2

高維情形七維向量的叉積可以通過(guò)八元數(shù)得到，與上述的四元數(shù)方法相同。

七維叉積具有與三維叉積相似的性質(zhì)：

雙線性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；

反交換律：x×y+y×x= 0；

同時(shí)與 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；

拉格朗日恒等式：|x×y|2 = |x|2 |y|2 - (x·y)2；

不同于三維情形，它并不滿足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。2

應(yīng)用在物理學(xué)光學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，叉積被用于求物體光照相關(guān)問(wèn)題。

求解光照的核心在于求出物體表面法線，而叉積運(yùn)算保證了只要已知物體表面的兩個(gè)非平行矢量(或者不在同一直線的三個(gè)點(diǎn))，就可依靠叉積求得法線。2