[科普中國]-序關(guān)系

簡介

偏序關(guān)系，亦稱序關(guān)系、弱偏序關(guān)系、半序關(guān)系，是一種重要的二元關(guān)系。指集合A有自反性、反對稱性和傳遞性的二元關(guān)系R，A稱為偏序集。偏序關(guān)系常用記號≤表示（仍讀作小于或等于）。a≤b意即aRb。偏序關(guān)系可用符號表示為：R是A的偏序關(guān)系。。

定義1，設(shè)P是集合，P上的二元關(guān)系“≤”滿足以下三個(gè)條件，則稱“≤”是P上的偏序關(guān)系（或部分序關(guān)系）：

（1）自反性：a≤a，?a∈P；

（2）反對稱性：?a，b∈P，若a≤b且b≤a，則a=b；

（3）傳遞性：?a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，則a≤c；1

特點(diǎn)偏序關(guān)系有下列特點(diǎn)：

1、對角集；

2、≤ 的矩陣(rij)λ的主對角線上的元素全是1；當(dāng) i ≠ j 時(shí)，rij·rji = 0，當(dāng) rij = rjk = 1時(shí)，rik=1；

3、≤ 的箭頭圖上每一點(diǎn)有一箭頭從自己出發(fā)而指向自己。如有箭頭從a指向b，從b指向c，就有箭頭從a指向c，任何兩點(diǎn)間無雙箭頭。

偏序關(guān)系的逆關(guān)系≥一定是偏序關(guān)系，偏序關(guān)系一定是擬序關(guān)系。1880年，皮爾斯（Perice，C.S.）首先系統(tǒng)地討論了偏序關(guān)系，而關(guān)于偏序的術(shù)語是由豪斯多夫（Hausdorff，F(xiàn).）從1914年引進(jìn)的。1

擬序關(guān)系也叫做偽序關(guān)系或前序關(guān)系，一種重要的二元關(guān)系。指集合A上的自反的與傳遞的二元關(guān)系R，A稱為擬續(xù)集，即關(guān)系是擬序關(guān)系。。

擬序關(guān)系有下列特點(diǎn)：

1、對角集，且當(dāng)∈R，∈R時(shí)，∈R。

2、R的矩陣(rij)λ的主對角線上的元素全是1，且當(dāng) rij= rjk= 1時(shí)，rik=1；

3、R的箭頭圖上，每個(gè)元素有一個(gè)從自己出發(fā)又指向自身的箭頭，且在有a到b的箭頭，b到c的箭頭時(shí)，就有a到c的箭頭，如右圖的關(guān)系箭頭表示的是集A={a,b,c,d,e}上的一個(gè)擬序。

擬序關(guān)系的逆關(guān)系一定是擬序的，反對稱的擬序關(guān)系是偏序關(guān)系，但擬序關(guān)系可以不是偏序關(guān)系。例如，圖中表示的擬序就不是偏序，因?yàn)閏Rd且dRc，但c≠d。1