[科普中國(guó)]-同余定理

數(shù)論中的重要概念。給定一個(gè)正整數(shù)m，如果兩個(gè)整數(shù)a和b滿足a-b能夠被m整除，即(a-b)/m得到一個(gè)整數(shù)，那么就稱整數(shù)a與b對(duì)模m同余，記作a≡b(mod m)。對(duì)模m同余是整數(shù)的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。1

理論背景數(shù)學(xué)上，兩個(gè)整數(shù)除以同一個(gè)整數(shù)，若得相同余數(shù)，則二整數(shù)同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理論常被用于數(shù)論中。最先引用同余的概念與符號(hào)者為德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯。同余理論是初等數(shù)論的重要組成部分，是研究整數(shù)問(wèn)題的重要工具之一，利用同余來(lái)論證某些整除性的問(wèn)題是很簡(jiǎn)便的。同余是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的重要組成部分。

公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)正整數(shù)n何時(shí)能成為一個(gè)一個(gè)由三個(gè)有理平方數(shù)形成的等差數(shù)列的公差，也就是說(shuō)x-n，x，x+n都是平方數(shù)。十三世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契指出5和7是同余數(shù)，他也猜想1、2、3不是同余數(shù)，但未能給出證明。直到1659年，法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬運(yùn)用他自己發(fā)明的無(wú)窮下降法證明了1、2、3不是同余數(shù)。十八世紀(jì)，大數(shù)學(xué)家歐拉首次證明了7是同余數(shù)。1952年，Heegner證明了任意模8余5、7的素?cái)?shù)和任意模4余3的素?cái)?shù)的兩倍均為同余數(shù)。2000年，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所公布了千禧年七大數(shù)學(xué)難題，每破解其中一個(gè)難題者將獲得100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金。其中就有著名的BSD猜想（全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而這個(gè)猜想與同余數(shù)問(wèn)題有緊密的聯(lián)系。2012年，田野證明了存在無(wú)窮多個(gè)具有任意指定素因子個(gè)數(shù)的同余數(shù)，這是在同余數(shù)問(wèn)題上的一個(gè)根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。2

同余符號(hào)兩個(gè)整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a與b對(duì)于模m同余或a同余于b模m。

記作：a≡b (mod m)，

讀作：a同余于b模m，或讀作a與b對(duì)模m同余，例如26≡2(mod 12)。

定義設(shè)m是大于1的正整數(shù)，a、b是整數(shù)，如果(a-b)|m，則稱a與b關(guān)于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a與b對(duì)模m同余。

顯然,有如下事實(shí)

（1）若a≡0(mod m)，則a|m；

（2）a≡b(mod m)等價(jià)于a與b分別用m去除，余數(shù)相同。

證明充分性：m|(a-b)→a≡b(mod m)。

設(shè)a=mq1+r1，b=mq2+r2，

且0≤r1,r2