[科普中國]-扁球面坐標(biāo)

扁球面坐標(biāo)是扁球面坐標(biāo)系（英語：Oblate spheroidal coordinates）內(nèi)的坐標(biāo)。

扁球面坐標(biāo)系扁球面坐標(biāo)系（英語：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標(biāo)系。設(shè)定二維橢圓坐標(biāo)系包含于xz-平面；兩個(gè)焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為 與 。將橢圓坐標(biāo)系繞著z-軸旋轉(zhuǎn)，則可以得到扁球面坐標(biāo)系。（假若，繞著y-軸旋轉(zhuǎn)，則可以得到長球面坐標(biāo)系。）橢圓坐標(biāo)系的兩個(gè)焦點(diǎn)，變?yōu)橐粋€(gè)半徑為 的圓圈，包含于三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標(biāo)系可以被視為橢球坐標(biāo)系的極限案例，其兩個(gè)最大的半軸的長度相同。

當(dāng)邊界條件涉及扁球面或旋轉(zhuǎn)雙曲面時(shí)，扁球面坐標(biāo)時(shí)?？梢杂脕斫馕銎⒎址匠淌?。例如，關(guān)于佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計(jì)算，扁球面坐標(biāo)扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎(jiǎng)。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質(zhì)核磁共振光譜學(xué)（protein NMR），的可行性。應(yīng)用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標(biāo)也時(shí)常用來解析電磁學(xué)（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學(xué)（例如，聲音通過圓孔時(shí)產(chǎn)生的散射），流體動力學(xué)（水通過消防水帶的噴口），擴(kuò)散理論（紅熱的錢幣在水里的冷卻），等等方面的問題。1

第一種表述在三維空間里，一個(gè)點(diǎn)P的扁球面坐標(biāo) 常見的定義是：

其中， 是個(gè)實(shí)數(shù)，角度 ，角度 。

學(xué)術(shù)界比較中意這一種扁球面坐標(biāo)，因?yàn)闆]有簡并；三維空間內(nèi)每一點(diǎn)都擁有自己獨(dú)特的扁球面坐標(biāo)。

坐標(biāo)曲面坐標(biāo)曲面是扁球面 ：

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉(zhuǎn)形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個(gè)的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為 ，沿著z-軸，短半軸長度為 。橢圓的焦點(diǎn)都包含于x-軸，x-坐標(biāo)分別為 。

坐標(biāo)曲面是半個(gè)單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 ：

假若 是正值， 也是正值，這半個(gè)單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面在xy-平面以上；假若是負(fù)值，則在xy-平面以下。 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點(diǎn)都在x-軸，x-坐標(biāo)分別為 。

坐標(biāo)曲面是個(gè)半平面 ：

逆變換用直角坐標(biāo) 來計(jì)算扁球面坐標(biāo) ，方位角 的公式為

設(shè)定 與 分別為點(diǎn)P與焦圓的最遠(yuǎn)距離與最近距離，以方程式表示為

坐標(biāo) 和 的方程式分別為：

標(biāo)度因子扁球面坐標(biāo) 與 的標(biāo)度因子相等：

方位角 的標(biāo)度因子為

無窮小體積元素是

拉普拉斯算子是

其它微分算子，像 、 ，都可以用 坐標(biāo)表示，只要將標(biāo)度因子代入在正交坐標(biāo)系條目內(nèi)對應(yīng)的一般公式。2

第二種表述概述另外有一組有時(shí)會用到的扁球面坐標(biāo) ；其中， ， 。 坐標(biāo)曲面是個(gè)扁球面， 坐標(biāo)曲面是個(gè)旋轉(zhuǎn)雙曲面。從直角坐標(biāo)變換至扁球面坐標(biāo)：

其中，實(shí)數(shù) ，實(shí)數(shù) ，角度 。

標(biāo)度因子扁球面坐標(biāo) 的標(biāo)度因子分別為：

無窮小體積元素是：

拉普拉斯算子是：

第三種表述另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標(biāo)系 ：

坐標(biāo) 必須大于或等于1。坐標(biāo) 必須在正負(fù)1之間。 坐標(biāo)曲面是扁球面。 坐標(biāo)曲面是單葉雙曲面，包含了對應(yīng)于正負(fù) 的半雙曲面。第三種坐標(biāo)有雙重簡并：三維空間的兩點(diǎn)（直角坐標(biāo) 映射至一組扁球面坐標(biāo)系 ）。這雙重簡并可以從直角坐標(biāo)變換至扁球面坐標(biāo)的公式觀察到：

坐標(biāo) 與 有一個(gè)簡單的公式來表達(dá)任何一點(diǎn)P與焦圓的最遠(yuǎn)距離 ，最近距離 ：

所以，點(diǎn)P與焦圓的最遠(yuǎn)距離是 ，點(diǎn)P與焦圓的最近距離是 。

坐標(biāo)曲面 坐標(biāo)曲面是扁球面 ：

坐標(biāo)曲面是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 ：

坐標(biāo)曲面是半個(gè)平面 ：

標(biāo)度因子扁球面坐標(biāo) 的標(biāo)度因子分別為：

無窮小體積元素是：

拉普拉斯算子是：

其它微分算子，像、，都可以用坐標(biāo)表示，只要將標(biāo)度因子代入在正交坐標(biāo)系條目內(nèi)對應(yīng)的一般公式。

如同球坐標(biāo)解答的形式為球諧函數(shù)，拉普拉斯方程可以用分離變數(shù)法來求解，得到形式為扁球諧函數(shù)的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優(yōu)先選擇這方法來解析。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)