[科普中國]-同胚

在拓撲學中，同胚(homeomorphism、topological isomorphism、bi continuous function)是兩個拓撲空間之間的雙連續(xù)函數(shù)。同胚是拓撲空間范疇中的同構。1

概念在拓撲學中，同胚(homeomorphism、topological isomorphism、bi continuous function)是兩個拓撲空間之間的雙連續(xù)函數(shù)。同胚是拓撲空間范疇中的同構；也就是說，它們是保持給定空間的所有拓撲性質(zhì)的映射。如果兩個空間之間存在同胚，那么這兩個空間就稱為同胚的，從拓撲學的觀點來看，兩個空間是相同的。

大致地說，拓撲空間是一個幾何物體，同胚就是把物體連續(xù)延展和彎曲，使其成為一個新的物體。因此，正方形和圓是同胚的，但球面和環(huán)面就不是。有一個笑話是說，拓撲學家不能區(qū)分咖啡杯和甜甜圈，這是因為一個足夠柔軟的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形狀。

在拓撲學中，兩個流形，如果可以通過彎曲、延展、剪切(只要最終完全沿著當初剪開的縫隙再重新粘貼起來)等操作把其中一個變?yōu)榱硪粋€，則認為兩者是同胚的。如：圓和正方形是同胚的，而球面和環(huán)面就不是同胚的。

定義兩個拓撲空間{X,TX}和{Y,TY}之間的函數(shù)f:X→Y稱為同胚，如果它具有下列性質(zhì)：

f是雙射（單射和滿射）；

f是連續(xù)的；

反函數(shù)f也是連續(xù)的（f是開映射）。

滿足以上三個性質(zhì)的函數(shù)有時稱為雙連續(xù)。自同胚就是從一個拓撲空間到它本身的同胚。同胚形成了所有拓撲空間的類上的等價關系。所得到的等價類稱為同胚類。

例子R內(nèi)的單位圓盤D和單位正方形是同胚的。2

開區(qū)間(?1, 1)與實直線R同胚。

積空間S× S與二維環(huán)面同胚。

每一個一致同構和等距同構都是同胚。

任何二維球面去掉一個點都與R中的所有點所組成的集合（二維平面）同胚。

設A為一個有單位的交換環(huán)，并設S為A的乘法子集。那么Spec與同胚。

當時，不與同胚。

一個連續(xù)和雙射但不是同胚的函數(shù)的例子，是把半開區(qū)間 [0,1)纏繞到圓上的映射。在這個情況中，逆映射雖然存在，但不是連續(xù)的。

性質(zhì)同胚是拓撲空間范疇中的同構。因此，兩個同胚的復合映射也是同胚，且所有自同胚X→X形成了一個群，稱為X的自同胚群，通常記為Homeo(X)。2

兩個同胚的空間具有相同的拓撲性質(zhì)。例如，如果其中一個是緊空間，那么另外一個也是緊空間；如果其中一個是連通空間，那么另外一個也是連通空間，等等。然而，這不能推廣到通過度量所定義的性質(zhì)；如果兩個度量空間是同胚的，那么仍然有可能其中一個是完備的，而另外一個不是。

同胚既是開映射又是閉映射，也就是說，它把開集映射到開集，把閉集映射到閉集。

每一個S1的自同胚都可以延伸到整個圓盤D2的自同胚。

參見局部同胚

微分同胚

一致同構（一致空間的同構）

等距同構（度量空間的同構）

同胚 (圖論)（與圖的剖分有密切聯(lián)系）

同痕

映射類群

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學