[科普中國]-同倫

在數(shù)學(xué)中，同倫（Homotopy）的概念在拓?fù)渖厦枋隽藘蓚€(gè)對象間的“連續(xù)變化”。1

兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果可以通過一系列連續(xù)的形變從一個(gè)變到另一個(gè)，那么就稱這兩個(gè)拓?fù)淇臻g同倫。

描述在同倫變換下保持不變的性質(zhì)，就稱為同倫不變量。 比如虧格（洞眼的個(gè)數(shù)），歐拉示性數(shù)等等。但是維數(shù)就不是同倫不變量。

拓?fù)鋵W(xué)家中流傳著這么一句俏皮話：“一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)家分不清面包圈和咖啡杯的差別?！边@是因?yàn)閮烧呤峭瑐惖?，即面包圈可以連續(xù)形變成咖啡杯。在施瓦辛格主演的科幻電影《終結(jié)者2》里面那個(gè)液態(tài)機(jī)器人殺手，它的每次變化都可以視為同倫變換。 但那次被施瓦性格用槍打爆腦袋不能算同倫變化， 因?yàn)檫@不是連續(xù)地形變。同倫是關(guān)于映射的等價(jià)關(guān)系，同倫等價(jià)才是關(guān)于空間的等價(jià)關(guān)系。最后舉的兩個(gè)例子更適合在同胚的概念中提及，在此處提雖然從邏輯上講沒錯(cuò)，但也容易讓初學(xué)者混淆。 建議舉不同倫的例子如下：兩個(gè)映射，一個(gè)是圓周到自身的恒同映射，另一個(gè)則是自變量在圓周上轉(zhuǎn)一圈時(shí)相應(yīng)的映射的值在圓周上轉(zhuǎn)兩圈。舉同倫等價(jià)的例子如下：“日”字和“8”字。

產(chǎn)生同倫和倫移的定義由brouwer于1911年給出，雖然它的直觀的觀念形變（deformation）早在lagrange時(shí)代的變分學(xué)中已經(jīng)出現(xiàn)并被使用，或許還可以追溯到更早。

函數(shù)的同倫給定兩個(gè)拓?fù)淇臻gX和Y。考慮兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，若存在一個(gè)連續(xù)映射使得

則稱（在Y里）同倫。2

換言之：每個(gè)參數(shù) t對應(yīng)到一個(gè)函數(shù)；隨著參數(shù)值t從 0 到 1 變化，H連續(xù)地從f變化到g。

另一種觀點(diǎn)是：對每個(gè)，函數(shù)H 定義一條連接f(x) 與g(x)的路徑：

例一：取, f(x)=1及g(x)=-1。則f與 g透過下述函數(shù)在Y中同倫。

H(x,t)=1-2t（注意到此例子不依賴于變數(shù)x，通常并非如此。）

注：“在Y中同倫”的說法提示一個(gè)重點(diǎn)：在例一中若將Y=R代為子空間，則雖然f與g仍取值在Y，但此時(shí)它們并不同倫。此點(diǎn)可藉中間值定理驗(yàn)證。

例二：取及g(x)=0。f描繪一個(gè)以原點(diǎn)為圓心之單位圓；g停在原點(diǎn)。f與g透過下述連續(xù)函數(shù)同倫：

幾何上來看，對每個(gè)值t，函數(shù)描繪一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑1-t的圓。函數(shù)間的同倫是（即從 X 到 Y 全體連續(xù)函數(shù)的集合）上的等價(jià)關(guān)系。同倫的初步應(yīng)用之一，是借由環(huán)路的同倫定義何謂單連通。

相對同倫為定義高階基本群，必須考慮相對于一個(gè)子空間的同倫概念。這是指能在不變動(dòng)該子空間的狀況下連續(xù)變化，正式定義是：設(shè)是連續(xù)函數(shù)，固定子空間 ；若存在前述同倫映射，滿足：1

則稱 f,g 相對于K 同倫。若取，則回到原先的同倫定義。

空間同倫等價(jià)給定兩個(gè)拓?fù)淇臻gE 與F，我們稱之同倫等價(jià)（或稱具相同倫型），當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個(gè)連續(xù)映射與，使得：

同倫到E 的恒等映射。

同倫到F的恒等映射。

同胚蘊(yùn)含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

例三：

一個(gè)平面上的圓或橢圓同倫等價(jià)到，即去掉一點(diǎn)的平面。線段[a,b]、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價(jià)，它們皆同倫等價(jià)于一個(gè)點(diǎn)。

同倫等價(jià)是個(gè)拓?fù)淇臻g之間的等價(jià)關(guān)系。許多代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)里的性質(zhì)均在同倫等價(jià)下不變，包括有：單連通、同調(diào)群及上同調(diào)群等等。

同痕同痕是同倫的加細(xì)版；我們進(jìn)一步要求所論的函數(shù)和 是嵌入，并要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義： f與 g被稱為同痕的，當(dāng)且僅當(dāng)存在連續(xù)映射使之滿足：

對所有，映射是個(gè)嵌入映射。

同痕的概念在紐結(jié)理論中格外重要：若兩個(gè)結(jié)同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結(jié)扯斷或相交的條件下彼此連續(xù)地變形。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)