[科普中國(guó)]-旋量

在數(shù)學(xué)幾何學(xué)與物理中，旋量是復(fù)矢量空間中的的元素。旋量乃自旋群的表象，類似于歐幾里得空間中的矢量以及更廣義的張量，當(dāng)歐幾里得空間進(jìn)行無限小旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋量做相應(yīng)的線性轉(zhuǎn)換。1

釋義在數(shù)學(xué)幾何學(xué)與物理中，旋量是復(fù)矢量空間中的的元素。旋量乃自旋群的表象，類似于歐幾里得空間中的矢量以及更廣義的張量，當(dāng)歐幾里得空間進(jìn)行無限小旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋量做相應(yīng)的線性轉(zhuǎn)換。當(dāng)如此一系列這樣的小旋轉(zhuǎn)組合成一定量的旋轉(zhuǎn)時(shí)，這些旋量轉(zhuǎn)換的次序會(huì)造成不同的組合旋轉(zhuǎn)結(jié)果，與矢量或張量的情形不同。當(dāng)空間從0°開始，旋轉(zhuǎn)了完整的一圈（360°），旋量發(fā)生了正負(fù)號(hào)變號(hào)（見圖），這個(gè)特征即是旋量最大的特點(diǎn)。在一給定維度下，需要旋量才能完整地描述旋轉(zhuǎn)，如此引入了額外數(shù)量的維度。

在閔可夫斯基空間的情形，也可以定義出相似的旋量，其中狹義相對(duì)論的洛倫茲轉(zhuǎn)換扮演旋轉(zhuǎn)的角色。旋量最先是由埃利·嘉當(dāng)于1913年引入幾何學(xué)。在1920年代，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)若要描述電子及其他次原子粒子的內(nèi)稟角動(dòng)量或自旋，旋量為不可或缺的角色。旋量群為所有旋轉(zhuǎn)相關(guān)的旋量所構(gòu)成的群，其二重覆疊了旋轉(zhuǎn)群，因?yàn)槊總€(gè)完整旋轉(zhuǎn)結(jié)果皆有兩種不同但等效的旋轉(zhuǎn)方式。

概論一種特定的旋量是旋轉(zhuǎn)群（李群SO(n，R)）的投影表示中的元素，或更廣義地說，是SO(p,q，R)群的投影表示中的元素。

旋量常被描述成“矢量的平方根”，因?yàn)槭噶勘硎緯?huì)出現(xiàn)在兩個(gè)相同旋量表示的張量積。

旋量中最典型的是狄拉克旋量。

數(shù)學(xué)性質(zhì)當(dāng)前有兩種架構(gòu)可建構(gòu)出旋量。2

一者是表示論架構(gòu)。正交群的李代數(shù)中，有一些群表示無法以尋常的張量來建構(gòu)，這些群表示稱之為旋量群表示，組成成分即旋量。在此觀點(diǎn)下，旋量屬于旋轉(zhuǎn)群的二重復(fù)疊的表示SO(n, R)；更廣義的情形，其為度規(guī)記號(hào)為(p, q)之空間中，廣義特殊正交群的二重復(fù)疊SO(p, q, R)。這些二重復(fù)疊為稱作旋量群Spin(n)或Spin(p, q)的李群。

二者是幾何架構(gòu)。人們可以直接建構(gòu)旋量，并檢視相關(guān)李群操作下旋量的行為。此方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，但對(duì)旋量的復(fù)雜性質(zhì)則難以處理，例子包括菲爾茲恒等式。

歷史埃利·嘉當(dāng)于1913年提出旋量的最廣義數(shù)學(xué)形式。“旋量”一詞則是首先出現(xiàn)在保羅·埃倫費(fèi)斯特的量子物理論文中。

1927年，沃爾夫?qū)づ堇麑⑿繎?yīng)用至數(shù)學(xué)物理，當(dāng)時(shí)他引入了自旋矩陣。隔年，保羅·狄拉克發(fā)現(xiàn)了相對(duì)論性的電子自旋理論，其中展示了旋量與洛倫茲群的關(guān)連。于1930年代，狄拉克、皮亞特·海恩以及玻爾研究所的其他研究者建立了Tangloids之類的玩具，作為旋量的教學(xué)以及旋量微積分的模型。

相關(guān)條目狄拉克旋量

三維空間中的旋量

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)