[科普中國(guó)]-中心化子

中心化子（centralizer）是一個(gè)數(shù)學(xué)用語(yǔ)。

設(shè)g是群G中的一個(gè)元素，則集合C(g) = {a∈G∣ag=ga}稱(chēng)為g在G中的中心化子（centralizer）。

設(shè)集合S屬于G，則集合C(S) = {a∈G∣ag=ga,對(duì)所有g(shù)∈S}稱(chēng)C(S)為S在G中的中心化子。

定義群G的一個(gè)元素a的中心化子（記作CG(a)）是G的和a可交換的元素的集合；換句話(huà)說(shuō)，CG(a) = {x屬于G:xa=ax}。若H為G的子群，則CH(a) = CG(a) ∩H。如果沒(méi)有歧義，則可以將CG(a)記作C(a)。1

更一般地，令S為G的任意子集（不必是子群）。則S在G中的中心化子定義為C(S) = {x屬于G：對(duì)于所有s屬于S,xs=sx}。若S= {a}，則C(S) = C(a)。

C(S)是G的子群；因?yàn)槿魓、y屬于 C(S) ，則對(duì)每個(gè)s屬于S，xy-1s=xsy-1=sxy-1。于是xy-1屬于 C(S)。

群的中心群G的中心是CG(G)，通常記作Z(G)。一個(gè)群的中心既是正規(guī)子群也是交換群，而且有很多其它重要屬性。我們可以將a的中心化子視作最大的（用包含關(guān)系為序）G的子群H，滿(mǎn)足a屬于其中心Z(H)的條件。

正規(guī)化子一個(gè)相關(guān)的概念是，S在G中的正規(guī)化子，記作NG(S)或者N(S)。正規(guī)化子定義為N(S) = {x屬于G:xS=Sx}。同樣的是，N(S)可以視作G的子群。正規(guī)化子的名字來(lái)源于如果我們令為一個(gè)由S生成的子群，則N(S)是最大的滿(mǎn)足包含為其正規(guī)子群的G的子群。在其中為正規(guī)子群的最小的G的子群稱(chēng)為共軛閉包。

G的子群H稱(chēng)為G的子正規(guī)化子群，如果NG(H) =H.

性質(zhì)若G是交換群，則任何G的子集的中心化子和正規(guī)化子就是G的全部；特別是，一個(gè)群可交換，當(dāng)且僅當(dāng)Z(G) =G。2

若a和b是G的任意元素，則a在C(b)中，當(dāng)且僅當(dāng)b在C(a)中，這有當(dāng)且僅當(dāng)a和b可交換。 若S= {a}則N(S) = C(S) = C(a)。

C(S)總是N(S)的正規(guī)子群：若c屬于C(S)而n屬于N(S)，我們要證明ncn-1屬于C(S)。為此，取s屬于S并令t=nsn-1。則t屬于S，所以ct=tc。注意到ns=tn；以及n-1t=sn-1。我們有

(n-1cn)s= (n-1c)tn= (n-1(tc)n= (sn-1)cn=s(n-1cn).

這也就是要證明的命題。

若H是G的子群，則N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同構(gòu)于Aut(H)（H的自同構(gòu)群）的子群。

因?yàn)镹G(G) =G，N/C定理也意味著G/Z(G)同構(gòu)于Inn(G)（由所有G的內(nèi)自同構(gòu)組成的Aut(G)的子群）。

如果我們通過(guò)T(x)(g) =Tx(g) =xgx定義群同態(tài)T:G→ Inn(G)，則我們可以用Inn("G")在G上的群作用來(lái)表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定點(diǎn)子群就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T（C(S)）。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

宋春霖 - 副教授 - 江南大學(xué)