[科普中國]-線性外推法

線性外推法

線性外推法是常用的近似計算方法?？蓱?yīng)用于計算殘余油飽和度和物理公式的推算。

線性外推法的應(yīng)用應(yīng)用線性外推法，首先是收集研究對象的動態(tài)數(shù)列，然后畫數(shù)據(jù)點(diǎn)分布圖，如果散點(diǎn)構(gòu)成的曲線非常近似于直線，則可按直線規(guī)律外推。1

線性外推法計算殘余油飽和度殘余油飽和度在文獻(xiàn)中常被定義為束縛油飽和度，指剩余油變?yōu)椴涣鲃踊蛘咄耆皇`時的飽和度，它是相對滲透率曲線的端點(diǎn)值，殘余油飽和度的大小影響著相對滲透率曲線的形態(tài)和驅(qū)油效率的高低。隨著油田的不斷開發(fā)，一方面老油田多數(shù)已進(jìn)入中高含水期，加大老油田的挖潛力度，提高其采出程度是保證油田產(chǎn)量的重要方式；另一方面勘探難度不斷增大，新發(fā)現(xiàn)油田的規(guī)模有限，甚至有些油田由于經(jīng)濟(jì)效益問題難以得到開發(fā)，可采儲量的大小直接影響新油田能否投入開發(fā)。殘余油飽和度是老油田挖潛及新油田開發(fā)方案研究中一項(xiàng)重要參數(shù)，準(zhǔn)確估算油田的殘余油飽和度對油田開發(fā)方案的制定具有重要意義2。

確定殘余油飽和度的方法有巖心分析、專門取心、油藏工程研究、測井、不穩(wěn)定試井（與巖心分析資料相結(jié)合）、化學(xué)示蹤劑研究等。最常用的方法為巖心分析法，其中使用長巖心或密閉取心資料確定的殘余油飽和度較為準(zhǔn)確，而目前南海東部地區(qū)尚無此類資料，因此，利用普通的特殊巖心分析數(shù)據(jù)確定殘余油飽和度是一種常用方法，即用油水相對滲透率實(shí)驗(yàn)結(jié)果中最后一個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對應(yīng)的含油飽和度值，或利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)外推得到殘余油飽和度。事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)室無法準(zhǔn)確地測得巖心的殘余油飽和度，因此，利用實(shí)驗(yàn)值外推是獲得殘余油飽和度的一種有效方法。

但是，目前關(guān)于殘余油飽度的外推方法及原則并沒有統(tǒng)一的依據(jù)，相同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不同的研究人員分析得到的殘余油飽和度值往往差別較大。針對這種情況，本文提出了殘余油飽和度的線性外推法，該方法可以降低外推值的不確定性，提高外推值的可靠性。1 殘余油飽和度外推方法目前，在利用特殊巖心分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時，普遍采用經(jīng)驗(yàn)公式法對實(shí)驗(yàn)室測得的相對滲透率曲線進(jìn)行歸一化處理，處理公式如下：

Swd=Sw－Swi1－Swi－Sor（1）

krw=krw（Sor）*Swdm（2）

kro=kro（Swi）*（1－Swd）n（3）

式中：Swi——束縛水飽和度；

Sor——?dú)堄嘤惋柡投龋?/p>

Sw——含水飽和度；

Swd——?dú)w一化的含水飽和度；

krw——水相相對滲透率；kro——油相相對滲透率；

m、n——水相指數(shù)、油相指數(shù)。

分別對式（2）和式（3）兩邊取對數(shù)得：

lg（krw）=lg（krw（Sor））+m*lg（Swd）（4）

lg（kro）=lg（kro（Swi））+n*lg（1－Swd）（5）

由式（4）和式（5）可以看出，lg（krw）～lg（swd）、lg（kro）～lg（1－swd）呈線性關(guān)系，由此，可以通過實(shí)驗(yàn)值分別回歸lg（krw）與lg（swd）、lg（kro）與lg（1－swd）的線性方程，得到m、n、Krw（sor）。由式（1）和式（3）可得：

kro=kro（Swi）*〔So－Sor1－Swi－Sor〕n（6）

式中So——含油飽和度。由式（6）可以看出，kro與So呈n階多項(xiàng)式的關(guān)系，或kro1n與So呈線性關(guān)系。因此，可以利用kro與So的這種關(guān)系，外推殘余油飽和度。下文的常用外推方法及本文提出的線性外推法均基于該關(guān)系式得到。

常規(guī)多項(xiàng)式外推法

由式（6）可知，kro與So呈n階多項(xiàng)式的關(guān)系，利用該關(guān)系外推殘余油飽和度時，需求kro為0時關(guān)于So的一元n次方程，如式（7）所示：

an*Son+an－1*Son－1+…+a1*So+c=0（7）

式中an、an－1…a1，c——常數(shù)。當(dāng)n≤3時，可直接利用求根公式得到殘余油飽和度值；當(dāng)n>3時，由于求根公式復(fù)雜，目前常用的處理方式是回歸kro12或kro14與So的多項(xiàng)式關(guān)系，采用試算法結(jié)合EXCEL的趨勢線倒推預(yù)測功能求取kro近似為0時的So值。

利用該方法外推時存在兩個問題，多項(xiàng)式的階數(shù)如何選擇？對kro開幾次方合適？不同的研究人員可能會有不同的選擇，外推的結(jié)果也不同。另外，由于多項(xiàng)式的階數(shù)越大，關(guān)系式的擬合效果越好（即若實(shí)驗(yàn)值有z個點(diǎn)，則只需z－1階多項(xiàng)式就能完全將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)擬合上），但是，并不是階數(shù)越高越好。由于多項(xiàng)式本身的彎曲特性，使其為了適應(yīng)某些點(diǎn)會導(dǎo)致其它點(diǎn)誤差增大，Runge現(xiàn)象很好地說明了這點(diǎn)。因此，本文認(rèn)為，在利用常規(guī)多項(xiàng)式方法外推殘余油飽和度時，需注意合理選取多項(xiàng)式的階數(shù)，保證擬合曲線在[0，1]范圍內(nèi)的單調(diào)性，否則擬合曲線沒有意義。針對該方法在使用時存在選取多項(xiàng)式的階數(shù)及對kro進(jìn)行開方的次數(shù)不統(tǒng)一的問題。本文根據(jù)式（1）～（6）提出以下外推殘余油飽和度的方法：線性外推法。

線性外推法

由于油水相對滲透率實(shí)驗(yàn)值均是油水兩相相對于油相在束縛水飽和度時滲透率，故kro（Swi）=1，同時式（6）中各項(xiàng)參數(shù)為正數(shù)，因此，由式（6）可以得到：

So=（1－Swi－Sor）*kro1n+Sor（8）

由式（8）可知，kro1n與So呈線性關(guān)系，因此，可利用該線性關(guān)系外推殘余油飽和度，與多項(xiàng)式外推法相比，該方法較為簡單直接。利用該方法，假設(shè)一系列n值，分別回歸kro1n與So的線性方程，該方程的常數(shù)項(xiàng)即為殘余油飽和度。通常情況下，油相指數(shù)n在2～4之間，同時本文統(tǒng)計了南海東部地區(qū)214個樣品的特殊巖心分析結(jié)果，該地區(qū)油相指數(shù)n基本介于[1，8]區(qū)間內(nèi)，且98%集中在[1，6]區(qū)間內(nèi)因此，首先可分別對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的中kro進(jìn)行n次開方，其中n為[1，6]區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)，可根據(jù)精度要求，選取n值。然后分別回歸求kro1n與So的線性公式得出kro1n為0時的So值，取反求n值與估算n值差別較小且判斷系數(shù)R2接近于1的外推結(jié)果作為殘余油飽和度值。

綜合以上分析，線性外推法是改進(jìn)的多項(xiàng)式外推法的簡化形式，該方法不僅可以規(guī)避多項(xiàng)式階數(shù)對外推值的影響，同時通過比較假設(shè)n值與反算n值的差別降低了外推值的不確定性，可替代多項(xiàng)式外推法，其外推過程可歸結(jié)為以下幾步：①假設(shè)一系列n值；②借助EXCEL內(nèi)置函數(shù)INDEX和LIN－EST分別求取各假設(shè)值對應(yīng)的R2和Sor；③利用外推得到的殘余油飽和度值反求n值；④取R2接近于1且反求得到的n值與假設(shè)n值差別較小的外推值，作為最終的殘余油飽和度；⑤若步驟④中的外推值不滿足精度要求，則可回到步驟①加密假設(shè)值，重復(fù)②～④步操作，直至滿足精度要求。以上步驟也可通過編程實(shí)現(xiàn)。以A油田A－1井穩(wěn)態(tài)法測得油水相對滲透率實(shí)驗(yàn)值為例，表1為其中一塊樣品4A的實(shí)驗(yàn)條件及結(jié)果。利用線性外推法對樣品4A值進(jìn)行分析，通過上述步驟進(jìn)行外推分析，在[1，6]區(qū)間內(nèi)以0．5為間隔取一系列n值，外推結(jié)果如圖3所示，當(dāng)n=2．5時，kro1n與So線性相關(guān)性最高，且滿足一定的精度要求，因此，取n=2．5時外推得到的值作為4A的殘余油飽和度，即該方法計算得到殘余油飽和度值為0．2398。通過反算n值的方法對取值結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，反算得到的n值為2．69，與2．5差別較小，因此該外推結(jié)果合理。該結(jié)果還表明，對kro開方的次數(shù)不是越高越好，通過對kro開方放大了低值的影響，因此，n越大，kro1n隨So的變化曲線越平緩，外推得到的殘余油飽和度值越小，當(dāng)n達(dá)到某個值時，kro1n與So呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系。線性外推法可以很好地避免多項(xiàng)式外推法中隨意選取n值的弊端。當(dāng)kro與So呈上凸型的曲線時，n值的選取范圍為0～1，這種情況極為少見。

線性外推法處理物理數(shù)據(jù)線性外推法是常用的近似計算方去,若將其應(yīng)用于物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理(如用作圖法從截距求某些物理量的值等)，能使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理簡單、直觀，物理意義更加明確。白澤生等以落球法測量液體的粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)為例，說明線性外推法在物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。