[科普中國]-除子

除子是代數(shù)幾何中的一個(gè)重要概念。在黎曼曲面 上，它可以簡單的定義為 上的點(diǎn)的(整系數(shù))形式和， 。一般地，對(duì)于代數(shù)閉域上的非奇異代數(shù)簇，它可以定義為余維為一的子簇的(整系數(shù))形式和，也可以定義為層 的一個(gè)整體截面。在滿足一定條件的（可以是奇異的）代數(shù)簇上，這兩種定義分別推廣成Weil除子和Cartier除子。

在黎曼曲面 上，它可以簡單的定義為 上的點(diǎn)的(整系數(shù))形式和， ，其中 是 上的點(diǎn)。型如 的除子被稱為素除子。一般的除子都是素除子的線性組合。 上的全部除子構(gòu)成一個(gè)交換群，記作 。

對(duì)于 上的非零亞純函數(shù) ，我們可以定義 的除子

其中 是 在 點(diǎn)零點(diǎn)的階（非零點(diǎn)的階為零，極點(diǎn)的階按負(fù)值計(jì)）。型如 的除子叫做主除子。主除子構(gòu)成的子群記作 。除子類群定義作 。對(duì)于緊黎曼面，這是一個(gè)有限生成的交換群，它是緊黎曼面 的一個(gè)重要不變量。

從層論的觀點(diǎn)看，除子是一個(gè)局部的概念，對(duì)于上任意的除子，和的開集 ，可以定義在上的限制。函子 是上的層。

給定上任何一個(gè)除子 ，局部上 都可以被寫作一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的主除子。精確地說，一定存在的一組開覆蓋以及每個(gè)上的函數(shù)，使得。一般說來，在和的交集上，和的限制未必相等，但易見在上，存在一個(gè)處處非零的全純函數(shù)，使得。另外，的選取不是唯一的，因?yàn)槲覀兛偪梢杂靡粋€(gè)處處非零的全純函數(shù)來修正它。反過來，任意一組這樣的數(shù)據(jù)，都給出了上的一個(gè)除子1。

以上論證表明，黎曼面上的任意一個(gè)除子，都唯一地對(duì)應(yīng)于層的一個(gè)整體截面。這是Cartier對(duì)于除子的觀點(diǎn)。

從Cartier的觀點(diǎn)出發(fā)，不難構(gòu)造除子所對(duì)應(yīng)的可逆層：取的一組開覆蓋，以及每個(gè)上的函數(shù)，使得。取上的平凡層，在交集上，如前所述是上的一個(gè)可逆函數(shù)，從而它定義了上平凡層的一個(gè)自同構(gòu)。把這一同構(gòu)視作粘合映射，不難驗(yàn)證這一族粘合映射滿足cocycle條件，從而他們給出了上的一個(gè)可逆層。

反過來，對(duì)于黎曼曲面，每個(gè)可逆層都來自于一個(gè)除子。事實(shí)上，若是可逆層，令為任意一個(gè)亞純截面的除子，則。

易見主除子對(duì)應(yīng)的可逆層同構(gòu)于平凡層。兩個(gè)除子之和對(duì)應(yīng)的可逆層是原來兩個(gè)除子對(duì)應(yīng)之可逆層的張量積。若兩個(gè)除子之差為一主除子，則他們定義的線叢是同構(gòu)的。

從線叢的觀點(diǎn)看，若兩個(gè)除子之差為一主除子，我們可以把它們視作等價(jià)。上面定義的映射給出了它與的一個(gè)同構(gòu)。這里是可逆層的同構(gòu)類在張量積下構(gòu)成的交換群。

任意一個(gè)除子，我們可以定義的次數(shù)。根據(jù)定義，這一定是一個(gè)有限和。對(duì)于緊黎曼面，主除子的次數(shù)總為零。由此可見，除子的次數(shù)只依賴于它在Picard群中的像。