[科普中國]-勾股定理竟引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機？

長久以來，數(shù)學(xué)都是精密、嚴格、準確的象征。

人類非理性的行為主導(dǎo)了社會、政治、經(jīng)濟、文化等領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展，而在理性統(tǒng)治的時代，現(xiàn)代科學(xué)也在不斷用實驗和數(shù)據(jù)支撐或者反駁前人的論斷，從而引領(lǐng)人們走向一條自我進化之路。路的遠方只能無限接近真理，卻永遠無法抵達那里。于是，在世間萬物變化無窮的表象之下，數(shù)學(xué)成了人們最后確定性的倚靠。

如果數(shù)學(xué)的根基被動搖，人類認識世界的邏輯基礎(chǔ)就可能被顛覆。當一加一不再等于二，人類文明構(gòu)建的宏偉大廈即可能在頃刻之間坍塌，所有固若金湯、堅不可摧的真理信條也會在瞬間失去存在的理由。世間一切文明亦會在一夜之間灰飛煙滅。宇宙最終只能沉寂于混沌的深淵。從某種角度來說，數(shù)學(xué)不能出現(xiàn)矛盾，也不能出現(xiàn)危機。數(shù)學(xué)，就是人類文明最后的避風港。

不幸的是，在兩千多年的歷史進程里，堅如磐石的數(shù)學(xué)大廈仍然出現(xiàn)了裂痕。人們在無意之間鑿開的罅隙卻很快激發(fā)連鎖反應(yīng)，最終引起科學(xué)界的大地震。無數(shù)歷史上最杰出的科學(xué)大家加入了修補大廈的工作，為挽救數(shù)學(xué)的完美與精確而殫精竭慮。等到危機過去，人們才發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)并不是無瑕的美玉，也并非無所不能的利器。數(shù)學(xué)理論即便可以幫助人們邁入天翻地覆的文明，但是在認識宇宙終極真理的道路上，它一樣無能為力。甚至連數(shù)學(xué)本身，也并非無懈可擊。人們總能在構(gòu)建數(shù)學(xué)王國的磚石中，找到那些無可避免的殘缺。

曾幾何時，在人類匍匐在真理的道路探尋未來時，數(shù)學(xué)帶來過光明。在科學(xué)尚在蒙昧的襁褓階段時，數(shù)學(xué)也曾哺乳過文明。歷史上，數(shù)學(xué)就是人類文明最忠實可靠的朋友。然而這位朋友，卻經(jīng)歷過人們?nèi)窝c火的洗禮。幸運的是，每一次，它都將自己一部分最深邃的秘密展現(xiàn)給信仰追隨它的人們。每一次的危機都帶來人們觀念上的革命，每一次革命都讓后人更加了解數(shù)學(xué)——人類文明的守護者，更真實的內(nèi)心。

讓我們重回歷史上那三次危機的現(xiàn)場。危機的導(dǎo)火索，卻是那樣的漫不經(jīng)心。一切仿佛都在印證，真理給予人類的恩賜，同樣都是有心栽花花不開，無意插柳柳成蔭。

（一）無理數(shù)的覺醒-畢達哥拉斯的怒火

數(shù)與形，是人類最早認識世界的基礎(chǔ)。因此，作為數(shù)的代表-整數(shù)與事物形狀的代表-幾何，就這樣進入人們理性思辨的世界。

第一次數(shù)學(xué)危機，就誕生在人們對整數(shù)和幾何的認識之中?！案?是否是有理數(shù)”這樣一個問題，引起了古希臘先賢們的爭論，并逐漸演變成一場巨大的風波，最終竟然引導(dǎo)古希臘的數(shù)學(xué)走向了一條截然不同的發(fā)展道路。

事件的起因，卻要從勾股定理說起。

公元前5世紀，古希臘的天才人物畢達哥拉斯（Pythagoras）創(chuàng)建了宗教、政治、學(xué)術(shù)合一的畢達哥拉斯學(xué)派。其主要的研究涵蓋幾何、算術(shù)、天文和音樂，并在其中追求宇宙和諧統(tǒng)一的規(guī)律。

畢達哥拉斯學(xué)派（圖片來源：搜狗百科）

彼時，畢達哥拉斯學(xué)派對整數(shù)有著異乎尋常的信仰。他們發(fā)現(xiàn)，大自然很多事物都可以通過數(shù)量的大小和關(guān)系進行解釋和說明。這種對整數(shù)的癡迷就來源于音樂的啟迪。

一次偶然的經(jīng)歷，畢達哥拉斯意識到音樂中音調(diào)的和諧完全由整數(shù)之比決定。音樂和數(shù)這看起來毫無關(guān)聯(lián)的事物居然通過整數(shù)連接在了一起，這讓畢達哥拉斯受到很大啟發(fā)，并由此斷言宇宙萬物都可歸結(jié)于整數(shù)或者整數(shù)之比（注：畢達哥拉斯時代的整數(shù)指代自然數(shù)）。這成了后來畢達哥拉斯學(xué)派的信條之一：一切事物都按照數(shù)來安排。具體而言，萬物都是整數(shù)或者整數(shù)之比的和諧產(chǎn)物。進一步，宇宙的本質(zhì)就在于整數(shù)的和諧。

與此同時，數(shù)學(xué)歷史上最偉大的定理之一-勾股定理-也誕生在畢達哥拉斯學(xué)派對幾何學(xué)孜孜不倦的追求之中。所謂“勾股定理”，就是一個直角三角形三邊長必須滿足的數(shù)量關(guān)系，即斜邊長的平方等于長與寬各自的平方之和。這與古代中國獨立發(fā)現(xiàn)的“勾三股四弦五”的特例有異曲同工之妙。意外的是，這一成就畢達哥拉斯千古英名的定理卻也成了該學(xué)派信仰的“掘墓人”。

勾股定理示意圖（圖片來源：http://www.sohu.com/a/34394091_139985）

由于相信萬物都是整數(shù)或者整數(shù)之比，那么兩條幾何線段長度之間的比值，其結(jié)果也必然是整數(shù)之比。這也意味著存在第三條線段，能同時量盡事先給定的兩條線段。這種性質(zhì)被畢達哥拉斯學(xué)派稱為“可通約”?；趯φ麛?shù)的信條，他們認為任何兩條線段都是可通約的。直到“不可通約量”的發(fā)現(xiàn)，終于引起了該學(xué)派巨大的信仰危機。這一“離經(jīng)叛道”的結(jié)果，卻是由畢達哥拉斯的學(xué)生希帕索斯（Hippasus）做出的。

希帕索斯考慮一個邊長為1的等邊直角三角形，根據(jù)勾股定理，其斜邊長應(yīng)該是“2的平方根”。如果畢達哥拉斯學(xué)派的斷言是正確的，那么直邊和斜邊應(yīng)該是可通約的，因此存在一個有理數(shù)（即整數(shù)之比），恰好等于“根號2”。希帕索斯很快就證明，這是一個矛盾的結(jié)論。他興高采烈地將自己的非凡發(fā)現(xiàn)告訴老師畢達哥拉斯。在經(jīng)過仔細的檢查之后，畢達哥拉斯進入了“兩難”的境地。要么承認希帕索斯顛覆性的結(jié)論，從而推翻他的數(shù)學(xué)與哲學(xué)的信條；要么違背理性的原則，堅決反對這一發(fā)現(xiàn)。左右為難之下，畢達哥拉斯將其視為學(xué)派的秘密，下令禁止傳播這一結(jié)論。事情的發(fā)展還是超乎畢達哥拉斯的預(yù)料，希帕索斯最終將發(fā)現(xiàn)泄露出去，從而激怒了畢達哥拉斯。畢達哥拉斯隨后下令處死他的學(xué)生。希帕索斯最終為此付出生命的代價，將一腔熱血獻祭給了第一次數(shù)學(xué)危機。

這一認識上的危機給古希臘的數(shù)學(xué)帶來巨大的地震。為了維護學(xué)派的信仰，畢達哥拉斯認定類似于“根號2”這樣的數(shù)是不可說、也無定形的數(shù)，其秘密屬于眾神的范疇，凡人不應(yīng)該接觸和認識到這些數(shù)的存在。這些數(shù)被稱為“沒有理性的數(shù)”，它們的存在即宣告了無理數(shù)的誕生。

第一次數(shù)學(xué)危機持續(xù)了2000多年。公元前3世紀，畢達哥拉斯學(xué)派的歐多克斯(Eudoxus)試圖通過在幾何學(xué)中引進不可通約量的概念來解決它的矛盾。他認為，幾何線段先天就存在著“可通約”和“不可通約”的限制，這在某種程度上大大拓展了人們對數(shù)的認識，也為無理數(shù)找到了存在的基礎(chǔ)。直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金(Dedekind）從連續(xù)性的要求出發(fā)，通過有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的分析基礎(chǔ)上，才揭開了無理數(shù)的神秘面紗，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無 理”的時代，也結(jié)束了自古希臘時代就延續(xù)至今的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機。

德國數(shù)學(xué)家利烏斯?威廉?理查德?戴德金

（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831-1916）（圖片來源：百度百科）

第一次數(shù)學(xué)危機誕生于幾何學(xué)。萬物皆依賴于整數(shù)的思想被瓦解，幾何學(xué)的地位開始擢升。古希臘人開始明白知覺和經(jīng)驗的局限性，一切真理只有通過推理和證明才能確?？煽俊４撕?，演繹和推理的方式逐漸登上古希臘科學(xué)的舞臺，在此基礎(chǔ)上建立的幾何公理體系讓希臘民族走向了以歐幾里得（Euclid）和亞里士多德（Aristotle）為代表的邏輯論證之路。古希臘也因此成為現(xiàn)代科學(xué)國家的先驅(qū)者。

相比之下，四大文明古國的中國、印度、埃及和巴比倫卻一直停留在實驗科學(xué)的階段，以經(jīng)驗作為檢驗真理的唯一標準，而忽視了推理和證明的重要性，從而與現(xiàn)代科學(xué)的誕生擦肩而過。

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