[科普中國(guó)]-可公度量

可公度量(commensurable quantities)亦稱(chēng)可通約量，是數(shù)學(xué)的基本概念之一。指兩個(gè)同是第三個(gè)量的整倍數(shù)的量，對(duì)于兩個(gè)正量A與B，若存在第三個(gè)量C，使A=pC，B=qC同時(shí)成立，這里p，q為自然數(shù)，則稱(chēng)量A與量B可公度或可通約，且稱(chēng)C是A與B的一個(gè)公度，這時(shí)稱(chēng)A與B是可公度量或可通約量。若不存在自然數(shù)p，q與量C使A=pC，B=qC成立，則稱(chēng)A與B是不可公度或不可通約，這時(shí)A，B是不可公度量或不可通約量。公度的概念在數(shù)學(xué)史上曾起過(guò)重要作用，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們尚未認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)，所以對(duì)于有關(guān)無(wú)理數(shù)的問(wèn)題就歸結(jié)為不可公度的量來(lái)解決1。

基本介紹作線段度量時(shí)，如果兩條線段都能用第三條線段量盡，即兩條線段都是第三條線段的整數(shù)倍，則把第三條線段稱(chēng)為前兩條線段的一個(gè)公度，這兩條線段就叫做可公度量(或可通約量)，由于公度的 仍是一個(gè)公度，可知沒(méi)有最小的公度，但公度顯然不會(huì)超過(guò)兩條線段中的較小者，故公度中必有最大者，稱(chēng)為最大公度1。

相關(guān)分析假設(shè)A、B 是可通約的兩個(gè)量，它們的比 是既約分?jǐn)?shù)。用 輾轉(zhuǎn)相除法求m與n的最高公因數(shù)，結(jié)果一定是1。如果兩個(gè)量可通約，那么輾轉(zhuǎn)相度一定有量完的時(shí)候。這時(shí)候充當(dāng)除數(shù)的那個(gè)量就是公度(common measure)；

反過(guò)來(lái)，若是輾轉(zhuǎn)相度永不停止，那么這兩個(gè)量就是叵通約的。例如等腰直角三角形ABC中，弦AB與股AC就沒(méi)有公度。這因?yàn)樵贏B上取AD=AC，又作AE平分∠BAC 交BC 于E，這時(shí)

所以

可見(jiàn)，也是等腰直角三角形。

當(dāng)我們以AC度AB時(shí)，量一次剩下DB。以DB度AC和以DB度BC一樣，量一次剩下BE。下邊雖說(shuō)可以再量，然而DB與BE互度時(shí)，工作的實(shí)質(zhì)毫不減于AC與AB的互度?？梢?jiàn)這項(xiàng)互度工作永遠(yuǎn)不能休止，由此知道這是不可度的2。

相關(guān)定理定理一 設(shè)可通約，可通約，則可通約。

定理二 設(shè)量可通約，那么與是可通約量，與也是可通約量。

**證明：**根據(jù)假設(shè)：

那么，

所以是可通約量。同理可證也是可通約量。

定理三設(shè)是可通約量，而且則與，與也各是可通約量。

證明:所以。由此即得與是可通約量，同理可證與也是。

定理四 設(shè)是可通約量，是任何自然數(shù)或分?jǐn)?shù)，那么，和是可通約量3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)