[科普中國]-五次曲線

簡介

在數(shù)學(xué)中，平面實(shí)數(shù)代數(shù)曲線是歐幾里得平面上的坐標(biāo)集合，其坐標(biāo)是兩個(gè)變量中的一些多項(xiàng)式的零點(diǎn)。 更一般來說，代數(shù)曲線是相似的，但是可以嵌入在較高維度空間中或者在一些更通用的場上被定義。

例如，單位圓是一個(gè)實(shí)數(shù)代數(shù)曲線，是多項(xiàng)式x2 + y2=1的點(diǎn)的集合。

各種技術(shù)考慮導(dǎo)致多項(xiàng)式的復(fù)雜零被認(rèn)為屬于曲線。此外，代數(shù)曲線的概念已經(jīng)被推廣，以允許定義多項(xiàng)式的系數(shù)和曲線的點(diǎn)的坐標(biāo)屬于任何場，導(dǎo)致以下定義。

在代數(shù)幾何中，在域k上定義的平面仿射代數(shù)曲線是K2的坐標(biāo)集合，其坐標(biāo)是具有k系數(shù)的一些雙變量多項(xiàng)式的零點(diǎn)，其中K是k的一些代數(shù)閉合擴(kuò)展。坐標(biāo)為k的曲線的點(diǎn)是曲線的k點(diǎn)，并且是曲線的k部分。

例如，（2，√-3）是由x2 + y2 - 1 = 0定義的曲線點(diǎn)，通常的單位圓是該曲線的實(shí)部。術(shù)語“單位圓”可以指所有的復(fù)雜點(diǎn)，也可以指實(shí)際點(diǎn)，從上下文中通常清楚的確切含義。方程式x2 + y2 + 1 = 0定義了一個(gè)代數(shù)曲線，其實(shí)部為空。

更一般地，可以考慮不包含在平面中但在更高維度的空間中的代數(shù)曲線。不包含在某個(gè)平面中的曲線稱為偏斜曲線。扭曲代數(shù)曲線的最簡單的例子是扭曲的立方體。人們還可以考慮投影空間中包含的代數(shù)曲線，以及與在仿射或投影空間中嵌入的獨(dú)立定義的代數(shù)曲線。這導(dǎo)致代數(shù)曲線的最一般定義：

在代數(shù)幾何中，代數(shù)曲線是維度一的代數(shù)變量。2

在歐幾里得幾何中歐幾里德平面中的代數(shù)曲線是其坐標(biāo)是雙變量多項(xiàng)式方程p（x，y）= 0的解的點(diǎn)集合。該方程通常稱為曲線的隱式方程，通過與曲線相反的曲線是明確定義y作為x的函數(shù)的函數(shù)的圖形。

使用這樣一個(gè)隱式方程給出的曲線，第一個(gè)問題是確定曲線的形狀并繪制曲線。這些問題并不像在功能圖中的情況那樣容易解決，對于這種函數(shù)，可以容易地為x的各種值計(jì)算y。定義方程是一個(gè)多項(xiàng)式的事實(shí)意味著曲線具有一些可能有助于解決這些問題的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

每個(gè)代數(shù)曲線可以被唯一地分解成有限數(shù)量的平滑單調(diào)?。ㄒ卜Q為分支），通過有時(shí)被稱為“顯著點(diǎn)”的某些點(diǎn)連接。平滑單調(diào)弧是在x軸的開放間隔上定義和單調(diào)的平滑函數(shù)的曲線圖。在每個(gè)方向上，弧線是無界的（通常稱為無限?。蛘呔哂幸粋€(gè)終點(diǎn)，它是一個(gè)奇異點(diǎn)（這將在下面定義）或一個(gè)切線平行于一個(gè)坐標(biāo)軸的點(diǎn)。

例如，對于圖的Tschirnhausen立方，有兩個(gè)無限弧，其原點(diǎn)（0,0）為終點(diǎn)。這一點(diǎn)是曲線的唯一奇點(diǎn)。有兩個(gè)弧具有這個(gè)奇異點(diǎn)作為一個(gè)端點(diǎn)并且具有水平切線的第二終點(diǎn)。最后，還有另外兩個(gè)弧，其中這些點(diǎn)具有水平切線作為第一個(gè)終點(diǎn)，并且將具有垂直切線的唯一點(diǎn)與第二個(gè)終點(diǎn)共享。另一方面，正弦曲線肯定不是代數(shù)曲線，具有無限數(shù)量的單調(diào)弧。

要繪制一個(gè)代數(shù)曲線，重要的是要知道它們的顯著點(diǎn)和切線，無限分支及其漸近線（如果有的話）以及圓弧連接它們的方式。也可以將拐點(diǎn)考慮在內(nèi)。當(dāng)所有這些信息在紙張上繪制時(shí)，曲線的形狀通常相當(dāng)清楚。如果不是，可以添加其他幾個(gè)點(diǎn)和它們的切線，以獲得曲線的良好描述。3

非平面代數(shù)曲線代數(shù)曲線是維度一的代數(shù)變量。這意味著維數(shù)n的仿射空間中的仿射曲線由n個(gè)變量中的至少n-1個(gè)多項(xiàng)式定義。為了定義一個(gè)曲線，這些多項(xiàng)式必須產(chǎn)生Krull維1的主要理想。這種情況在實(shí)踐中不容易測試。因此，可以以下列方式來表示非平面曲線。

讓是兩個(gè)變量x1和x2中的n個(gè)多項(xiàng)式，使得f是不可約的。維度n的仿射空間中的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程和不等式：

是有限數(shù)量的點(diǎn)被刪除的代數(shù)曲線的所有點(diǎn)。該曲線由多項(xiàng)式h的理想的發(fā)生器系統(tǒng)定義，使得其存在整數(shù)kk使得屬于由。該表示是由f定義的曲線和平面曲線之間的有理等價(jià)。每個(gè)代數(shù)曲線都可以這樣表示。然而，可能需要變量的線性變化，以使得幾乎總是將投影注入到兩個(gè)第一變量上。當(dāng)需要改變變量時(shí)，幾乎每一個(gè)變化都是方便的，一旦它被定義在一個(gè)無限的領(lǐng)域。

該表示允許我們從其平面投影的相應(yīng)屬性容易地推導(dǎo)出非平面代數(shù)曲線的任何屬性，包括其圖形表示。

對于由其隱式方程定義的曲線，曲線的上述表示可以從Gr?bner基礎(chǔ)中輕易地推導(dǎo)出塊排序，使得較小變量的塊為（x1，x2）。多項(xiàng)式f是基數(shù)中唯一依賴x1和x2的唯一多項(xiàng)式。通過選擇i = 3，...，n，在xi中為線性的多項(xiàng)式，并且僅依賴于x1，x2和xi來獲得分?jǐn)?shù)gi / g0。如果這些選擇是不可能的，這意味著方程式定義一個(gè)不是多樣性的代數(shù)集合，或者該種類不是維度一，或者必須改變坐標(biāo)。后一種情況發(fā)生在f存在且唯一的情況下，并且對于i = 3，...，n，存在多項(xiàng)式，其前導(dǎo)單項(xiàng)只取決于x1，x2和xi。4

代數(shù)函數(shù)域代數(shù)曲線的研究可以減少到不可約代數(shù)曲線的研究：不能寫成兩個(gè)較小曲線的并集的曲線。直到雙等效，字段F上的不可約曲線分別等價(jià)于F上的一個(gè)變量中的代數(shù)函數(shù)字段。這樣的代數(shù)函數(shù)字段是F的字段擴(kuò)展K，其包含超過F的元素x， K是F（x）的有限代數(shù)擴(kuò)展，它是不確定x在F上的理性函數(shù)的領(lǐng)域。

例如，考慮復(fù)數(shù)的字段C，我們可以在C中定義C中的有理函數(shù)的字段C（x）。如果y2 = x3-x-1，則字段C（x，y）是橢圓函數(shù)領(lǐng)域。元素x不是唯一確定的;該場也可以被認(rèn)為是例如C（y）的擴(kuò)展。對應(yīng)于函數(shù)域的代數(shù)曲線只是C2中滿足y2 = x3-x-1的點(diǎn)（x，y）集合。

如果字段F不是代數(shù)關(guān)閉的，那么函數(shù)字段的觀點(diǎn)比考慮點(diǎn)的軌跡更加一般，因?yàn)槲覀儼ɡ鐩]有點(diǎn)的“曲線”。例如，如果基字段F是實(shí)數(shù)的字段R，則x2 + y2 = -1定義了R（x）的代數(shù)擴(kuò)展字段，但是被認(rèn)為是R2的子集的相應(yīng)曲線沒有點(diǎn)。方程式x2 + y2 = -1在方案意義上（R中有限類型的積分，分離的一維方案）定義了R上的不可約代數(shù)曲線。在這個(gè)意義上，在F之間的不可約代數(shù)曲線（直到雙等效）和一個(gè)變量中的代數(shù)函數(shù)域之間的一對一對應(yīng)關(guān)系一般。

兩條曲線可以是雙等效的（即具有同構(gòu)函數(shù)域），而不是同構(gòu)的曲線。當(dāng)處理非奇異曲線時(shí)，情況變得更加容易，即那些缺乏奇點(diǎn)的曲線。當(dāng)且僅當(dāng)它們的函數(shù)域是同構(gòu)的時(shí)，場上的兩個(gè)非奇異投影曲線是同構(gòu)的。

特森定理是關(guān)于代數(shù)閉合場上的代數(shù)曲線的函數(shù)域。5

理性曲線一個(gè)合理的曲線，也稱為單軌曲線，是任意一條曲線，它們與一條線相當(dāng)，它們可能是一條投影線；因此，我們可以在一個(gè)不確定的F（x）中用理性函數(shù)的場來識別曲線的函數(shù)域。如果F代數(shù)閉合，這相當(dāng)于零類曲線;然而，在真實(shí)代數(shù)變量x2 + y2 = -1上定義的所有實(shí)數(shù)代數(shù)函數(shù)的領(lǐng)域是不屬于理性函數(shù)域的零屬性的領(lǐng)域。

具體來說，通過以單個(gè)參數(shù)t定義的n個(gè)有理函數(shù)，可以將尺寸n超過F的合理曲線參數(shù)化（除了孤立的異常點(diǎn)）;通過清除分母，我們可以將其轉(zhuǎn)化為投影空間中的n + 1個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。一個(gè)例子就是理性的正態(tài)曲線。

在F上定義的任何錐形截面是F的合理點(diǎn)，是一個(gè)合理的曲線。通過合理點(diǎn)繪制具有斜率t的線，并與平面二次曲線交點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化;這給出了具有F-有理系數(shù)和一個(gè)F-有理根的多項(xiàng)式，因此另一個(gè)根也是F-合理（即屬于F）。

例如，考慮橢圓x2 + xy + y2 = 1，其中（-1,0）是一個(gè)有理點(diǎn)。用（-1,0），y = t（x + 1）的斜率t繪制一條線，在橢圓方程中代入，求解x，得到：

那么我們可以得到y(tǒng)的等式：

其定義了橢圓的合理參數(shù)化，因此顯示橢圓是一個(gè)有理曲線。給出橢圓的所有點(diǎn)，除了（-1,1），對應(yīng)于t =∞；因此，整個(gè)曲線由實(shí)際投影線參數(shù)化。

在投影空間中可以考慮這樣一個(gè)合理的參數(shù)化，將第一個(gè)投影坐標(biāo)與參數(shù)化的分子相等，最后一個(gè)投影坐標(biāo)與公分母相等。由于參數(shù)在投影行中定義，所以參數(shù)中的多項(xiàng)式應(yīng)該是均勻的。例如，上述橢圓的投影參數(shù)化是

在這些方程之間消除T和U，我們再次得到橢圓的投影方程：

這可以通過以上等式均勻化而直接獲得6。