[科普中國(guó)]-互反方程

概念

互反方程(reciprocal equation)是一種特殊的代數(shù)方程。數(shù)域P上的方程a0xn+a1xn-1+…+an=0 (a0≠0)的系數(shù)若滿(mǎn)足an=a0，an-1=a1，…，則稱(chēng)此方程為互反方程。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x=-1是它的根；當(dāng)n為偶數(shù)2m時(shí)，解此方程相當(dāng)于解一個(gè)m次方程與一個(gè)二次方程。數(shù)域P上的方程是互反方程當(dāng)且僅當(dāng)它的倒數(shù)方程與該方程同解，即α為方程的根當(dāng)且僅當(dāng)1/α也為其根。1

代數(shù)方程指多項(xiàng)式方程，其一般形式為：

是代數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象之一。

在20世紀(jì)以前，解方程一直是代數(shù)學(xué)的一個(gè)中心問(wèn)題。二次方程的求解問(wèn)題歷史久遠(yuǎn)。在巴比倫泥板中(公元前18世紀(jì))就載有二次方程的問(wèn)題。古希臘人也解出了某些二次方程。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽(公元3世紀(jì))在求解一個(gè)有關(guān)面積的問(wèn)題時(shí)，相當(dāng)于給出二次方程的一個(gè)根。7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多給出方程x2+px-q=0的一個(gè)根的公式：

一元二次方程的 一般解法是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米建立的。

對(duì)三次方程自古以來(lái)也有很多研究，在巴比倫泥板中，就有相當(dāng)于三次方程的問(wèn)題。阿基米德也曾討論過(guò)方程x3+a=cx2的幾何解法。11世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家?jiàn)W馬·海亞姆創(chuàng)立了用圓錐曲線解三次方程的幾何方法，他的工作可以看作是代數(shù)與幾何相結(jié)合的最早嘗試。但是三次、四次方程的一般解法(即給出求根公式)，直到15世紀(jì)末也還沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。意大利數(shù)學(xué)家帕喬利在1494年出版的著作中還說(shuō)：“x3+mx=n，x3+n=mx(m，n為正數(shù))現(xiàn)在之不可解，正像化圓為方問(wèn)題一樣?！钡?6世紀(jì)上半葉，三次方程的一般解法就由意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅、塔爾塔利亞和卡爾達(dá)諾等得到，三次方程的求根公式最早出現(xiàn)在卡爾達(dá)諾的《大術(shù)》(1545)之中。四次方程的求根公式由卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里首先得到，也記載于卡爾達(dá)諾的《大術(shù)》中。

在16世紀(jì)末到17世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們還探討如何判定方程的正根、負(fù)根和復(fù)根的個(gè)數(shù)。卡爾達(dá)諾曾指出一個(gè)實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根是成對(duì)出現(xiàn)的，牛頓在他的《廣義算術(shù)》中證明了這一事實(shí)。笛卡兒在他的《幾何學(xué)》中給出了正負(fù)號(hào)法則(通稱(chēng)笛卡兒法則)，即多項(xiàng)式方程f(x)=0的正根的最多數(shù)目等于系數(shù)變號(hào)的次數(shù)，而負(fù)根的最多數(shù)目等于兩個(gè)正號(hào)和兩個(gè)負(fù)號(hào)連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù)。但笛卡兒本人沒(méi)有給出證明，這個(gè)法則是18世紀(jì)的幾個(gè)數(shù)學(xué)家證明的。牛頓在《廣義算術(shù)》中給出確定正負(fù)根數(shù)目上限的另一法則，并由此推出至少能有多少個(gè)復(fù)數(shù)根。

研究代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，也是這一時(shí)期代數(shù)學(xué)的重要課題?？栠_(dá)諾發(fā)現(xiàn)方程所有根的和等于x的系數(shù)取負(fù)值，每?jī)蓚€(gè)根的乘積之和等于x的系數(shù)，等等。韋達(dá)和牛頓也都在他們的著作中分別敘述了方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，現(xiàn)在稱(chēng)這個(gè)結(jié)果為韋達(dá)定理。這些工作在18世紀(jì)發(fā)展為關(guān)于根的對(duì)稱(chēng)函數(shù)的研究。

另一個(gè)重要課題是今天所謂的因子定理。笛卡兒在他的《幾何學(xué)》中指出，f(x)能為(x-a)整除，當(dāng)且僅當(dāng)a是f(x)=0的一個(gè)根。由此及其他結(jié)果，笛卡兒建立了求多項(xiàng)式方程有理根的現(xiàn)代方法。他通過(guò)簡(jiǎn)單的代換，把方程的首項(xiàng)系數(shù)化為1，并使所有系數(shù)都變?yōu)檎麛?shù)，這時(shí)他判斷，原方程的各有理根必定是新方程常數(shù)項(xiàng)的整數(shù)因子。牛頓還發(fā)現(xiàn)了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，他在《廣義算術(shù)》中還給出了確定方程根的上界的一些定理。此外，數(shù)學(xué)歸納法也在18世紀(jì)末開(kāi)始明確地用于代數(shù)學(xué)中。

18世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家們的注意力開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)で笪宕我陨戏匠痰母浇?。?jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的努力，在歐拉、旺德蒙德、拉格朗日、魯菲尼等人工作的基礎(chǔ)上，在19世紀(jì)上半葉，阿貝爾和伽羅瓦幾乎同時(shí)證明了五次以上的方程不能用公式求解。他們的工作開(kāi)創(chuàng)了用群論的方法來(lái)研究代數(shù)方程的解的理論，為抽象代數(shù)學(xué)的建立開(kāi)辟了道路(見(jiàn)置換群和伽羅瓦理論)。

代數(shù)方程理論的另一個(gè)問(wèn)題是“一個(gè)方程能有多少個(gè)根”。中世紀(jì)阿拉伯和印度的數(shù)學(xué)家們都已認(rèn)識(shí)到二次方程有兩個(gè)根。到了16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾引入了復(fù)數(shù)根，并認(rèn)識(shí)到一個(gè)三次方程有3個(gè)根，一個(gè)四次方程有4個(gè)根，等等。荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在1629年曾推測(cè)并斷言：任意一個(gè)n次方程，如果把復(fù)根算在內(nèi)并且k重根算作k個(gè)根的話，那么它就有n個(gè)根。這就是代數(shù)基本定理。這個(gè)定理在18世紀(jì)被許多著名的數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到并試圖證明之，直到1799年高斯才給出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的證明。

對(duì)代數(shù)方程理論的研究，使數(shù)學(xué)家們引進(jìn)了在近世代數(shù)中具有頭等重要意義的新概念，這些新概念很快被發(fā)展成為有廣泛應(yīng)用的代數(shù)理論。2

倒數(shù)方程倒數(shù)方程亦稱(chēng)反商方程。一種特殊方程。即根的倒數(shù)亦為其根的整式一元方程。如果一元n次方程f(x)=0的根和f(1/x)=0的根完全相同，則稱(chēng)f(x)=0是一元n次倒數(shù)方程。它有下面兩種形式：

方程(1)稱(chēng)為第一類(lèi)型倒數(shù)方程，亦稱(chēng)互反方程；方程(2)稱(chēng)為第二類(lèi)型倒數(shù)方程。它的特點(diǎn)是首項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，x的n-1次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)，…，x的n-k次項(xiàng)系數(shù)和x的k次項(xiàng)系數(shù)，或是都相等，或是都相差一個(gè)負(fù)號(hào)。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m，倒數(shù)方程可寫(xiě)為：

方程(3)稱(chēng)為第一類(lèi)型偶次倒數(shù)方程，方程(4)稱(chēng)為第二類(lèi)型偶次倒數(shù)方程。應(yīng)該注意到方程(4)正中間的一項(xiàng)系數(shù)bm+1為零。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1，倒數(shù)方程可寫(xiě)為：

方程(5)稱(chēng)為第一類(lèi)型奇次倒數(shù)方程，方程(6)稱(chēng)為第二類(lèi)型奇次倒數(shù)方程。第二類(lèi)偶次倒數(shù)方程(4)有根±1，求出根±1后可以化為一個(gè)形如方程(3)的2m次方程；第一類(lèi)奇次倒數(shù)方程(5)有根-1，求出根-1后也可以化為一個(gè)形如方程(3)的2m次方程；第二類(lèi)奇次倒數(shù)方程(6)有根1，求出根1后仍可以化為一個(gè)形如方程(3)的2m次方程。因此，方程(4)，(5)，(6)分別求出根±1，-1或1以后，所得的降次方程都是第一類(lèi)偶次倒數(shù)方程，所以，第一類(lèi)偶次倒數(shù)方程又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)型倒數(shù)方程。3