[科普中國]-仿射變換群

概念介紹

仿射變換群(affine transformation group)簡稱仿射群。是一類基本的變換群。即由仿射空間中全體仿射變換所構(gòu)成的變換群。例如，平面上的全體仿射變換構(gòu)成平面上的仿射變換群，它是平面射影變換中以無窮遠(yuǎn)直線為絕對形的自同構(gòu)群?？臻g中全體仿射變換構(gòu)成空間的仿射變換群，它是空間射影變換中以無窮遠(yuǎn)平面為絕對形的自同構(gòu)群。.研究在仿射群下不變性質(zhì)與不變量的幾何稱為仿射幾何。2

仿射空間A的所有自同構(gòu)組成A的置換群的子群，稱為A的仿射群，記為GA(A)。 使A的任一自同構(gòu)u與E的聯(lián)系于u的自同構(gòu)f相對應(yīng)的映射是從仿射群GA(A)到線性群GL(E)上的同態(tài)，它的核是由平移構(gòu)成的。

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進(jìn)行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

置換群置換群是指由置換組成的群。n元集合Ω={a1，a2，…，an}到它自身的一個(gè)一一映射，稱為Ω上的一個(gè)置換或n元置換。

有限群在其形成時(shí)期幾乎完全在置換群的形式下進(jìn)行研究，拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關(guān)于方程可解性的著作里，引進(jìn)了n個(gè)根的一些函數(shù)進(jìn)行研究，開創(chuàng)了置換群的子群的研究，得到“子群的階整除群的階”這一重要結(jié)果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中，對置換群進(jìn)行了詳細(xì)的考察，引進(jìn)了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西發(fā)表了關(guān)于置換群的重要文章(1815年)。他以方程論為背景，證明了不存在n個(gè)字母(n次)的群，使得它對n個(gè)字母的整個(gè)對稱群的指數(shù)小于不超過n的最大素?cái)?shù)，除非這個(gè)指數(shù)是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻(xiàn)，他引進(jìn)了正規(guī)子群、兩個(gè)群同構(gòu)、單群與合成群等概念，發(fā)展了置換群的理論?？上墓ぷ鳑]有及時(shí)為數(shù)學(xué)界所了解?？挛髟?844—1846年間，寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結(jié)果系統(tǒng)化，證明了伽羅瓦的斷言：每個(gè)有限(置換)群，如果它的階可被一個(gè)素?cái)?shù)p除盡，就必定至少包含一個(gè)p階子群。他還研究了n個(gè)字母的函數(shù)在字母交換下所能取的形式值(即非數(shù)字值)，并找出一個(gè)函數(shù)，使其取給定數(shù)目的值。

置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當(dāng)整理在他的《置換與代數(shù)方程》之中，他本人還發(fā)展了置換群理論及其應(yīng)用。3

變換群變換群是指一組變換，對變換的乘積構(gòu)成的群。設(shè)G為M上的有限或無限個(gè)變換的集合，若滿足下面兩個(gè)條件：①集合G中任意兩個(gè)變換的乘積仍屬于G；②集合G中每一個(gè)變換必有其逆變換，而且這個(gè)逆變換也屬于G，則稱G為M上的一個(gè)變換群。

例如，平移變換可以構(gòu)成一個(gè)群：平面上任意兩個(gè)平移變換的積仍是平移變換;每個(gè)平移變換都有逆變換，這個(gè)逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。

用變換群來研究對應(yīng)的幾何學(xué)的觀點(diǎn)，是由德國數(shù)學(xué)家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學(xué)的教授就職演講中，提出題為《關(guān)于近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換群在幾何中的主導(dǎo)作用.他把到當(dāng)時(shí)為止已發(fā)現(xiàn)的所有的幾何，統(tǒng)一在變換群的觀點(diǎn)之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個(gè)變換群之下研究圖形不變性質(zhì)與不變量的一門科學(xué).這種觀點(diǎn)突出了變換群在研討幾何中的地位，為用近代數(shù)學(xué)方法研究幾何學(xué)開辟了道路，因此后來把它簡稱為《埃爾朗根綱領(lǐng)》.

按照變換群的觀點(diǎn)，幾何學(xué)可以這樣分類：研究射影變換群、仿射變換群、相似變換群、正交變換群下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)分別是射影幾何學(xué)、仿射幾何學(xué)、拋物幾何學(xué)、歐氏幾何學(xué).正交變換群也稱為運(yùn)動(dòng)群，歐氏幾何學(xué)的主要內(nèi)容就是研究運(yùn)動(dòng)群下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué).近代發(fā)展很快、應(yīng)用越來越廣的一門學(xué)科——拓?fù)鋵W(xué)，就是研究拓?fù)渥儞Q下不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué)。

仿射空間仿射空間是通常三維向量空間的推廣。是這樣的點(diǎn)集合A={P，Q，…}，A中的點(diǎn)與一個(gè)n維線性空間V中的向量滿足以下的關(guān)系：

1.對A中任意有序點(diǎn)對P，Q，存在V中一個(gè)向量(稱為P，Q的差向量)，記為。

2.對A中任意三個(gè)點(diǎn)P，Q，R有：

3.對每個(gè)P∈A和每個(gè)α∈V，存在Q∈A使：

這時(shí)也稱A為關(guān)于V的n維仿射空間，而稱V為差空間。特別地，若取A=V，則上述三條件都是滿足的。因此，V按此定義就是一個(gè)n維仿射空間。

仿射變換仿射變換是一種幾何變換，若某一變換把共線的點(diǎn)變?yōu)橥樞虻墓簿€點(diǎn)，并且直線上任意三點(diǎn)A，B，C與它們的像點(diǎn)A′，B′，C′的簡單比相等，即，則稱這種平面到它自身的變換為仿射變換。若圖形M經(jīng)仿射變換得圖形M′，則稱圖形M仿射等價(jià)于圖形M′。

例如，在兩個(gè)平面π和π′，一直線l與π，π′都不平行。在平面π上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線l的平行線，交平面π′于點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′是平面π上的點(diǎn)A在平面π′上的平行投影(圖1)。平面π上各點(diǎn)，經(jīng)過一系列的平行投影后變到π自身(圖2)，這就是一個(gè)平面π到它自身的一個(gè)仿射變換。4