[科普中國(guó)]-空關(guān)系

定義

定義1 設(shè)A，B是兩個(gè)集合，R是A×B的任意一個(gè)子集，即

則稱R為從集合A到集合B的一個(gè)二元關(guān)系，簡(jiǎn)稱為從A到B的一個(gè)二元關(guān)系。

若稱R為空關(guān)系。

若稱為全關(guān)系。

當(dāng)時(shí)，稱二元關(guān)系為A上的二元關(guān)系。

當(dāng)時(shí)，記稱之為A上的恒等關(guān)系。

空關(guān)系是一種特殊關(guān)系，指關(guān)系集A×B中的子集?。非空集合中的空關(guān)系是反自反的、對(duì)稱的、反對(duì)稱的和傳遞的，但不是自反的；空集合中的空關(guān)系則是自反的、反自反的、對(duì)稱的、反對(duì)稱的和傳遞的。非空集合的空關(guān)系的矩陣各元素都是0。1

定義2 集合A上的關(guān)系是從A到A的關(guān)系。

集合A到它自身的關(guān)系是特別令人感興趣的。

通常集合A上不同關(guān)系的數(shù)目依賴于A的基數(shù)。如果|A|=n,那么|A×A|=n2，可知A 上關(guān)系的子集有個(gè)，因?yàn)橐粋€(gè)子集代表一個(gè)A 上的關(guān)系，所以A 上的關(guān)系有個(gè)不同的二元關(guān)系。

例如，則在A上可以定義個(gè)不同的關(guān)系。當(dāng)然，大部分的關(guān)系沒(méi)有什么實(shí)際意義，但是,對(duì)于任意集合A都有3種特殊的關(guān)系，它們是:

定義3 稱為A上的空關(guān)系，稱為A上的全關(guān)系，稱為A上的相等關(guān)系(或恒等關(guān)系)。2

例題解析例1 設(shè)R是P(A)上的包含關(guān)系，則

有。

。

例2 給定一個(gè)非空集合A，試討論集合A上的全域關(guān)系A(chǔ)×A以及空關(guān)系的性質(zhì)。

解：(1)全域關(guān)系顯然有自反性、對(duì)稱性和傳遞性，但顯然沒(méi)有反自反性。

至于反對(duì)稱性，要看集合A的元素個(gè)數(shù)而定。

情形一：如果那么顯然它上面的全域關(guān)系有反對(duì)稱性。

情形二：如果，那么顯然它上面的全域關(guān)系沒(méi)有反對(duì)稱性。

(2) 因?yàn)锳是非空集合，所以容易驗(yàn)證A上的空關(guān)系有對(duì)稱性、傳遞性、反自反性、反對(duì)稱性，但沒(méi)有自反性。3

二元關(guān)系的性質(zhì)設(shè)R是集合A上的一個(gè)二元關(guān)系，即，于是

(1)若對(duì)于，滿足則稱關(guān)系R有自反性，或稱R是A上的自反關(guān)系。

(2)若對(duì)于，滿足則稱關(guān)系R有反自反性，或稱R是A上的反自反關(guān)系。

(3)若對(duì)于，滿足當(dāng)有則稱關(guān)系R有對(duì)稱性?；蚍QR是A上的對(duì)稱關(guān)系。

(4)若對(duì)于，滿足當(dāng)且有，則稱關(guān)系R有反對(duì)稱性，或稱R是A上的反對(duì)稱關(guān)系。

(5)若對(duì)于，滿足當(dāng)且時(shí)，有則稱關(guān)系R有傳遞性，或稱R是A上的傳遞關(guān)系。4

**注：**1. 有自反性的關(guān)系一定沒(méi)有反自反性，有反自反性的關(guān)系也一定沒(méi)有自反性，這說(shuō)明自反性與反自反性不可能共存于同一個(gè)關(guān)系之中。但是有這樣的關(guān)系存在，它既不是自反的，也不是反自反的。

2. 對(duì)稱性和反對(duì)稱性有可能共存于同一個(gè)關(guān)系之中。同時(shí)也存在這樣的關(guān)系，它既不是對(duì)稱的，也不是反對(duì)稱的。3