[科普中國]-模群

模群(modular group)即虧格大于2的閉曲面上映射類群。考慮拓?fù)淝鍿g上所有保向自同胚集合，在其上定義一等價關(guān)系使得兩元素h與h'等價，當(dāng)且僅當(dāng)h與'h同倫，如此所得到的等價類集合在復(fù)合運算[h]°[h']=[h°h']下構(gòu)成一群，稱為模群，或映射類群。

概念模群即虧格大于2的閉曲面上映射類群?？紤]拓?fù)淝鍿g上所有保向自同胚集合，在其上定義一等價關(guān)系使得兩元素h與h'等價，當(dāng)且僅當(dāng)h與h'同倫，如此所得到的等價類集合在復(fù)合運算[h]°[h']=[h°h']下構(gòu)成一群，稱為模群，或映射類群。模群以如下方式自然地作用于泰希米勒空間：[h']([s，f])=[s，f°h]。易證此種作用是間斷的。模群與泰希米勒空間理論、拓?fù)鋵W(xué)及三維流形理論等有密切的聯(lián)系，至今仍是人們所重點研究的課題之一。

群群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群;時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。1

虧格虧格是黎曼曲面的重要拓?fù)洳蛔兞?。一閉曲面(或開曲面)的一維同調(diào)群(或模理想邊界的一維同調(diào)群)之秩是2g，則稱g為此曲面的虧格。開曲面的虧格可能為無窮。

拓?fù)淇臻g的同胚映射下保持不變的性質(zhì)稱為拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

例如，二維緊致定向曲面又二維定向曲面的拓?fù)洳蛔兞刻澑?、辯解連通分支數(shù)唯一決定。拓?fù)鋵W(xué)研究的一個中心問題是拓?fù)淇臻g的同胚分類。但是直接判斷兩個拓?fù)淇臻g之間是否存在同胚映射是很困難的一件事情。因此拓?fù)鋵W(xué)家希望能夠找到比較好計算的在同胚映射下保持不變的性質(zhì)來判斷兩個拓?fù)淇臻g不是同胚的。因此，拓?fù)淇臻g的同胚映射存在問題被轉(zhuǎn)移到拓?fù)洳蛔兞康臉?gòu)造。由此，產(chǎn)生了許多的拓?fù)洳蛔兞咳缤瑐惾?、同調(diào)群。

黎曼曲面是一維復(fù)解析流形。由局部定義的解析函數(shù)經(jīng)解析開拓得到的大范圍定義的解析函數(shù)常常是多值的，它的單值定義域即是相聯(lián)于此函數(shù)的黎曼曲面。它能由有限或可數(shù)無窮多的“葉”所組成，這些葉都是復(fù)平面C上的域。抽象黎曼曲面定義為：一個曲面M連同一個附加的復(fù)結(jié)構(gòu){(uγ，hγ)}，并記黎曼曲面R=(M，{(uγ，hγ)}).這是外爾(Weyl，(C.H.)H.)首先提出的。這里復(fù)結(jié)構(gòu){(uγ，hγ)}是指開集族{uγ}是M的一開覆蓋，即M=∪uγ，hγ是uγ到復(fù)平面開集Vγ的同胚映射，亦稱局部參數(shù)或局部坐標(biāo)，并且相鄰兩個局部參數(shù)的定義域的交集上，其中一個參數(shù)是另一個參數(shù)的解析函數(shù)。黎曼曲面上定義的函數(shù)稱為解析的(或調(diào)和的或次調(diào)和的)，如果在每個參數(shù)鄰域內(nèi)它表示為局部參數(shù)的解析函數(shù)(或調(diào)和或次調(diào)和函數(shù))。緊致黎曼曲面稱為閉黎曼曲面，否則為開黎曼曲面。

黎曼曲面理論中具有基本的重要性的定理是單值化定理。

同胚同胚是拓?fù)淇臻g之間的一種變換。若f是拓?fù)淇臻g(X，T)到(Y，U)的單滿映射，并且f與f都是連續(xù)的，則稱f為同胚映射或拓?fù)渥儞Q。存在同胚映射的兩個拓?fù)淇臻g稱為同胚的或拓?fù)涞葍r的。同胚關(guān)系是等價關(guān)系。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年開始研究的.在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。

設(shè)E與F為兩個拓?fù)淇臻g。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚，如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。

為使從E到F上的雙射是同胚，其充分必要條件是： 這個雙射是雙連續(xù)的。

從一緊空間到另一緊空間上的任一連續(xù)雙射是同胚。2

同倫設(shè)f、g是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的兩個連續(xù)映射，若存在連續(xù)映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)，H(x，1)=gx∈X，則稱f與g同倫，記為f?g：X→Y或f?g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數(shù)映射族{ht}t∈I，ht連續(xù)地依賴于t且h0=f，h1=g，即當(dāng)參數(shù)t從0變到1時，映射f連續(xù)地形變?yōu)間。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y(jié)的一切連續(xù)映射之集，則同倫關(guān)系?是C[X，Y]上等價關(guān)系，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設(shè)Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續(xù)映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結(jié)，則f?g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設(shè)X，Y與Z均為拓?fù)淇臻g，若f?f：X→Y，g?g： Y→Z，則gf?gf： X→Z。

設(shè)X，Y為拓?fù)淇臻g，若存在連續(xù)映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf?Idx且f·g?idr。這Id、id均表示恒同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X?Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0與映射idx同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關(guān)系是拓?fù)淇臻g之間的等價關(guān)系。X可縮等價于下列幾條中任意一條：(1)idx?0，即恒同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f?0。(3)對任意空間Z和連續(xù)映射g：Z→X，g?0。

泰希米勒空間閉黎曼曲面上附帶一定拓?fù)錀l件的復(fù)解析結(jié)構(gòu)所構(gòu)成的空間。假設(shè)Sg(g≥0)是一個虧格為g的閉曲面，在復(fù)分析及其應(yīng)用中一個十分重要的基本問題是怎樣對Sg上的復(fù)結(jié)構(gòu)進行描述。g=0，1的情形早為人們所認(rèn)識，即S0上有惟一的復(fù)結(jié)構(gòu)，S1上的所有復(fù)結(jié)構(gòu)可以用一個復(fù)參數(shù)來描述。當(dāng)g>1時此問題十分復(fù)雜。100多年前，黎曼猜測Sg(g>1)上的所有復(fù)結(jié)構(gòu)可用6g-6個實參數(shù)來描述。此著名猜測的證明由德國數(shù)學(xué)家泰希米勒(Teichmu¨ller，O.)于20世紀(jì)40年代首先給出，其證明的關(guān)鍵性思想是對一類以Sg為基點的形變空間的拓?fù)湫再|(zhì)及其“自然”作用于其上的模群的分析，這類重要的形變空間即是現(xiàn)在所稱的泰希米勒空間。其定義如下：考慮所有形如[S，f]的元組，其中f：Sg→S為同胚映射，規(guī)定一等價關(guān)系：[S1，f1]~[S2，f2]，當(dāng)且僅當(dāng)存在一共形映射σ：S1→S2滿足σ°f1～f2(同倫)，利用擬共形映射的復(fù)偏差可在此等價類集合上裝備一個完備的度量，并稱為泰希米勒度量。如此所得到的拓?fù)淇臻gTg稱為泰希米勒空間.粗略地說，泰希米勒的重大貢獻在于巧妙地應(yīng)用擬共形映射及Sg上的全純二次微分給出了一個“直觀地”得到Sg上所有復(fù)結(jié)構(gòu)的形變方法.與此相關(guān)的重要結(jié)果有：

1.給定Tg中的任一點[S，f]，存在Sg上的泰希米勒形變T及共形映射h，使得[S，f]=[S，h°T]，且h°T是f的同倫類中伸縮商為最小的惟一的極值映射。

2.記Rg是虧格為g的閉曲面的共形等價類的集合，Mod g是作用于Tg上的模群，則Mod g在Tg上的作用是離散的，且Rg=Tg/Mod g。

3.Tg同胚于6g-6維歐氏空間R中的開球。

阿爾福斯(Ahlfors，L.V.)首先認(rèn)識到泰希米勒空間的重要價值，并證明Tg上存在與泰希米勒拓?fù)湎嗳莸膹?fù)結(jié)構(gòu)。稍后伯斯(Bers，L.)證明Tg可被全純地嵌入到C中有界球的內(nèi)部.在隨后的研究中，Sg的拓?fù)漕愋屯茝V到允許Sg上有洞或穿孔點，甚至可以直接從離散群出發(fā)來定義廣泛的泰希米勒空間。至今泰希米勒空間理論已發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要的研究課題，它與現(xiàn)代數(shù)學(xué)及物理中的許多分支，如埃爾米特幾何、黎曼幾何、代數(shù)幾何、離散群理論、三維流形理論、動力系統(tǒng)、遍歷理論、BMO理論以及超弦理論等均有直接或間接的聯(lián)系。許多精粹思想交融其中，互映生輝。特別要指出的是由瑟斯頓(Thurston，W.)所創(chuàng)立的“地震”理論.這是與泰希米勒形變理論相媲美的另一個“直觀地”得到Sg上所有復(fù)結(jié)構(gòu)的形變方法。此外由于計算機技術(shù)的發(fā)展及應(yīng)用上的需要，開發(fā)對Tg中的目標(biāo)的計算方法已開始受到人們的重視。3

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)