[科普中國(guó)]-一致逼近

定義

定義一

如果用函數(shù)列f1，f2，…，fn，…逼近函數(shù)Φ，取fi與Φ之差的模的上確界

作為fi與Φ的離差之測(cè)度，就稱這種逼近是一致逼近，上式中Ω為在其內(nèi)進(jìn)行逼近的數(shù)集．

若fi(i=1，2，…，n，…)和Φ皆連續(xù)，而Ω為緊集，則上確界的符號(hào)可改為極大值符號(hào)2。

定義二

① 對(duì)于任意的f(x)∈[a，b]，在范數(shù)1

的意義下定義兩個(gè)函數(shù)的距離：

② 若一個(gè)函數(shù)序列 在如上定義的距離的意義下滿足

則稱fn(x)在[a，b]上一致收斂于f(x)．

通常也稱在度量||·|| 下的逼近問(wèn)題為一致逼近問(wèn)題．

最佳一致逼近最佳一致逼近多項(xiàng)式定義 設(shè)Pn∈Hn，f(x)∈C[a，b]，稱1

為Pn(X)對(duì)于f(x)的偏差，稱

為Pn(x)對(duì)f(x)的最小偏差，或稱最佳逼近．

定義 設(shè)f(x)∈C[a，b]，若? ∈Hn使得

則稱 是f(x)在[a，b]上的最佳一致逼近多項(xiàng)式或最小偏差逼近多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱最佳逼近多項(xiàng)式．

最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性和唯一性定理1 (Borel，1995)對(duì)于任何f(x)∈C[a，b]，在Hn中存在多項(xiàng)式 ，使得

定理2 設(shè)f(x)∈C[a，b]，p(x)∈Hn，則p(x)為f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式的充分必要條件是，f(x)一p(x)在[a，b]上存在一個(gè)至少由n+2個(gè)點(diǎn)組成的交錯(cuò)點(diǎn)組。

由該定理可知，若f(x)∈C[a，b]，則在以Hn存在唯一的最佳一致逼近多項(xiàng)式，且最佳一致逼近多項(xiàng)式是f(x)的一個(gè)拉格朗日插值多項(xiàng)式3。

實(shí)際求出最佳一致逼近多項(xiàng)式p(x)往往比較困難。一般利用下述定理求取最佳一致逼近多項(xiàng)式。

定理3 設(shè)f(x)在[a，b]上n+1階可導(dǎo)，且 在[a，b]上不變號(hào)，若p(x)∈Hn是f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式，則端點(diǎn)a與b屬于f(x)一p(x)的交錯(cuò)點(diǎn)組3。