[科普中國]-傅里葉展開式

歷史

傅里葉展開式是一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)在它收斂于此函數(shù)本身時的一種稱呼。而傅里葉級數(shù)得名于法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉(1768年–1830年)，他提出任何函數(shù)都可以展開為三角級數(shù)。此前數(shù)學(xué)家如拉格朗日等已經(jīng)找到了一些非周期函數(shù)的三角級數(shù)展開，而認(rèn)定一個函數(shù)有三角級數(shù)展開之后，通過積分方法計算其系數(shù)的公式，歐拉、達(dá)朗貝爾和克萊羅早已發(fā)現(xiàn)，傅里葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅里葉介入三角級數(shù)用來解熱傳導(dǎo)方程，其最初論文在1807年經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審后被拒絕出版，他目前被稱為傅里葉逆轉(zhuǎn)定理的理論后來發(fā)表于1820年的《熱的解析理論》中。將周期函數(shù)分解為簡單振蕩函數(shù)的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀(jì)古代天文學(xué)家的均輪和本輪學(xué)說。

傅里葉級數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

定義 表示實(shí)變量 的一個函數(shù)，且 在 上可積， 和 為實(shí)數(shù)。我們將嘗試用諧波關(guān)系的正弦函數(shù)的無窮和或級數(shù)來表示該區(qū)間內(nèi)的 。在區(qū)間外，級數(shù)以 為周期（頻率為 ）。若 也具有該性質(zhì)，則它的近似在整個實(shí)數(shù)線上有效。我們可以從有限求和（或部分和）開始1：

為周期為的周期函數(shù)。運(yùn)用恒等式：

我們還可以用這些等價形式書寫這個函數(shù)：

其中：

當(dāng)系數(shù)（即傅里葉系數(shù)）以下面方式計算時：

在 近似了 ，該近似程度會隨著N→∞ 逐漸改善。這個無窮和 叫做 的傅里葉級數(shù)。在工程應(yīng)用中，一般假定傅里葉級數(shù)除了在不連續(xù)點(diǎn)以外處處收斂，原因是工程上遇到的函數(shù)比數(shù)學(xué)家提供的這個假定的反例表現(xiàn)更加良好。特別地，傅里葉級數(shù)絕對收斂且一致收斂于s(x)，只要在s(x) 的導(dǎo)數(shù)（或許不會處處存在）是平方可積的。 如果一個函數(shù)在區(qū)間 [x0, x0+P]上是平方可積的，那么此傅里葉級數(shù)在幾乎所有點(diǎn)都收斂于該函數(shù)。傅里葉級數(shù)的收斂性取決于函數(shù)有限數(shù)量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件。參見傅里葉級數(shù)的收斂性之一。對于廣義函數(shù)或分布也可以用范數(shù)或弱收斂定義傅里葉系數(shù)。

分類1.三角形式傅里葉展開式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率為，則該信號可展開為下面三角形式的傅里葉級數(shù):

2.復(fù)指數(shù)形式傅里展開式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率為，則該信號復(fù)指數(shù)的傅里葉級數(shù)：

三角形式的傅里葉級數(shù)物理含義明確，而指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)數(shù)學(xué)處理方便，而且很容易與后面介紹的傅里葉變換統(tǒng)一起來。兩種形式的傅里葉級數(shù)的關(guān)系可由下式表示2：

收斂性判別至今還沒有判斷傅里葉級數(shù)的收斂性充分必要條件，但是對于實(shí)際問題中出現(xiàn)的函數(shù)，有很多種判別條件可用于判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數(shù)的一致收斂性。在閉區(qū)間上滿足狄利克雷條件的函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利克雷條件如下：

在定義區(qū)間上，x(t)須絕對可積；

在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個極值點(diǎn)；

在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點(diǎn)。

滿足以上條件的x(t)傅里葉級數(shù)都收斂，且：

1. 當(dāng)t是x(t)的連續(xù)點(diǎn)時，級數(shù)收斂于x(t)；

2. 當(dāng)t是x(t)的間斷點(diǎn)時，級數(shù)收斂于

1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函數(shù)的傅立葉級數(shù)一定是幾乎處處收斂的，即級數(shù)在除了一個勒貝格零測集外均收斂。

吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數(shù)中的有限項(xiàng)作和X(t)，那么X(t)在這些點(diǎn)上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。

傅里葉展開式的意義**理論意義：**把復(fù)雜的周期函數(shù)用簡單的三角級數(shù)表示；

**應(yīng)用意義：**用三角函數(shù)之和近似表示復(fù)雜的周期函數(shù)。