[科普中國]-埃爾米特函數

定義

在數學分析的領域中，埃爾米特函數是當一個函數的共軛復數與將原函數的自變量變號后的值相等的復變函數。對于所有在f定義域內的所有x 滿足:

（其中上橫線表示復共軛）

這個定義也可以擴展到兩個或多個變量的函數，例如，對于兩個變量的函數 f，當 f 定義域內的所有數對 滿足

時，它為埃爾米特函數。

根據這個定義,可得出一個很顯然的推論:當且僅當

f 的實部為偶函數，并且

f 的虛部為奇函數

時，f 是埃爾米特函數。

應用埃爾米特函數經常出現在數學、物理和信號處理中。根據傅里葉變換的基本性質，可以得出以下兩條敘述：

實函數的傅里葉變換為埃爾米特函數

埃爾米特函數的傅里葉變換為實函數

由于實信號的傅里葉變換可以保證是埃爾米特函數，因而可以將埃爾米特奇/偶對稱性用于壓縮。這使得經過離散傅里葉變換的信號（為一般復數）可以存儲在與原實數信號相同的空間中。

若f為埃爾米特函數，則

其中是互相關，而 是卷積。

若f與g都是埃爾米特函數，則。