[科普中國]-冪零群

簡介

在群體理論中，冪零群是“差不多的阿貝爾”群體。 這個想法的出現(xiàn)是由于冪零群是可解的，而對于有限的冪零群來說，是可以超解的（supersolvable）。 這個概念被俄羅斯數(shù)學(xué)家謝爾蓋切爾尼科夫在20世紀(jì)30年代編輯出來。

和群體的分類一樣，伽羅瓦理論中也出現(xiàn)了冪零群。同樣的，他們也在李群的分類中被突出的顯示出來。

類似術(shù)語用于李代數(shù)（使用李括號），包括冪零，下中央系列和上中央系列。12

定義該定義使用這個想法：用自己來解釋群的中央系列。 以下是等效的定義方式：

（1）冪零群是具有有限長度的中心系列的群。

（2）冪零群是一個低級中心系列在有限步驟之后終止于普通群中的群。

（3）冪零群是一個上中心系列在有限的步驟之后終止于整個群的群。

對于冪零群，最小的n使得G具有長度為n的中心系列被稱為G的冪零級；而G被認(rèn)為是級數(shù)n的冪零。 （根據(jù)定義，如果系列中有n + 1個不同的子群，包括普通的子群和整個群，那么長度為n。

同樣的，G的冪零群是下中央系列或上中央系列的長度。 如果一個群的冪零級最大是m，那么它有時被稱為群。

冪零級是0的群是唯一的，并且級別為1的冪零群正是高級的阿貝爾群。3

舉例（1）如上所述，每個阿貝爾群都是冪零群。

（2）對于一個小的非阿貝爾群的例子，考慮一個四元群Q8，它是一個最小的非阿貝爾p群。 它具有階數(shù)2的中心{1，-1}，其中心系列為{1}，{1，-1}，Q8; 所以這是級別為2的冪零群。

（3）所有有限的p組實際上都是冪零群。pn群的最大階數(shù)是n-1。

（4）兩個冪零群的直接計算結(jié)果還是冪零群。

（5）相反，每個有限的冪零群是p組的直接乘積。

（6）海森堡群是非阿貝爾群，但卻是冪零群。

（7）任何場F上的上單位三角形n×n矩陣的乘法組是冪零長度n-1的冪零群。

（8）場F上的可逆上三角形n×n矩陣的乘法組不是一般的冪零群。4

術(shù)語解釋之所以叫冪零群，是因為任何元素的“伴隨動作”是冪零的，這意味著對于冪零群G的冪零度n和元素g，函數(shù) 是由定義的（其中是g和x的換向公式），第n次迭代是冪零的：。

這不是冪零群的定義特征：是n的冪級的群被稱n-恩格爾群，一般不需要是冪零的。

屬性由于上中央序列中的每個連續(xù)因子群Zi + 1 / Zi是阿貝爾的，并且集也是有限的，所以每個冪零群是具有相對簡單結(jié)構(gòu)的可解群。

級別為n的冪零群的每個子群的等級最多為n；另外，如果f是等級為n的冪零群的同態(tài)群，則f的圖像也是等級最多為n的冪零群。

以下陳述等同于有限群，揭示了冪零群的一些有用的屬性：

（a）G是一個冪零群。

（b）如果H是G的子群，則H是NG（H）的正常子群。 這被稱為歸一化，可以簡單地表述為“規(guī)范化程序增長”。

（c）G的每個Sylow子群均正常。

（d）G是其Sylow子群的直接產(chǎn)物。

證明：

（a）→（b）：通過 G |。 如果G為阿貝爾群，則對于任何H，NG（H）=“G”。 如果不是，如果Z（G）不包含在H中，則hZHZ-1h-1 = h'H'h-1 = H，所以H·Z（G）歸一為H。如果Z（G）包含在H ，則G / Z（G）中含有H / Z（G）。 因此，存在G / Z（G）的子群，H / Z（G）和H / Z（G）是其亞群。 因此，將這個子群撤回到G中的子群，并將其歸一化。（這個證明與p組相同 - 只有當(dāng)G是無效時，G / Z（G） - 所以細(xì)節(jié)省略。）

（b）→（c）：令p1，p2，...，ps是除以其順序的不同素數(shù)，并且令Sylpi（G）中的Pi為1≤i≤s.Let對于某些i 并使N = NG（P）。 由于P是N的正常子組，P是N中的特征。由于P char N和N是NG（N）的正常子群，所以我們得到P是NG（N）的正常子群。 這意味著NG（N）是N的子群，因此NG（N）= N.By（b），因此我們必須具有N = G，其給出（c）。

（c）→（d）：令p1，p2，......，ps為不同的素數(shù)除以其順序，并且令S 1（i）中的Pi為1≤i≤s.對于任何t，1≤t 表示P1P2 ... Pt與P1×P2×...×Pt同構(gòu)。 首先注意，每個Pi在G中是正常的，因此P1P2 ... Pt是G的子群。令H為乘積P1P2 ... Pt-1，令K = Pt，因此H與P1×P2×...×Pt-1。 特別地，拉格朗日定理意味著H和K的等價于1.通過定義，P1P2 ... Pt = HK，因此HK與H×K同構(gòu)，等于P1×P2×...×Pt。再取t = s得到（d）。

（d）→（a）：容易獲得Z（P1×P2×...×Ps）與Z（P1）×...×Z（Ps）同構(gòu)，則G / Z（G）=（P1 / Z））×...×（PS / Z（Ps）的）。 因此，（d）的假設(shè)也適用于G / Z（G）。如果Pi≠1則Z（Pi）≠1，所以如果G≠1，| G / Z（G）| 小于| G |。 通過歸納，G / Z（G）是冪零的，所以G是冪零的。

最后一個語句可以擴展到無限群：如果G是一個非零群，則G的每個Sylow子群Gp都是正常的，并且這些Sylow子群的直接乘積是G中有限階的所有元素的子群。5