[科普中國(guó)]-偶置換

偶置換是置換的一個(gè)子類，長(zhǎng)度為2的輪換稱為對(duì)換，每個(gè)置換都可以表示成對(duì)換的乘積。一個(gè)可以表示成偶數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積稱為偶置換。

簡(jiǎn)介當(dāng)把置換寫成對(duì)換的乘積時(shí)，不要求（也不能要求）這些對(duì)換沒有公共的點(diǎn)，也不能保證表示的唯一性；甚至不能保證乘積中出現(xiàn)的對(duì)換的個(gè)數(shù)的唯一性。但是我們可以證明，當(dāng)把一個(gè)置換 g 表示成對(duì)換的乘積，所需要的對(duì)換的個(gè)數(shù)的奇偶是被 g 完全確定的。一個(gè)可以表示成偶數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積稱為偶置換（even permutation），否則稱為奇置換（odd permutation）。

性質(zhì)兩個(gè)偶置換的乘積，兩個(gè)奇置換的乘積都是偶置換。

一個(gè)偶置換和一個(gè)奇置換乘起來(lái)是奇置換。

若 |Ω|=n，則在Ω 的全體置換中，有個(gè)偶置換，有奇置換。

全體偶置換在置換的乘法下成為一個(gè)群，稱為Ω 上的交錯(cuò)群（alternating group），記作 Alt (Ω)。Alt (Ω) 是 Sym(Ω) 的正規(guī)子群。若 |Ω|=|Ω1|，Sym(n) 或 Sn來(lái)表示 n 元集合上的對(duì)稱群。同樣用 Alt(n)，或 An來(lái)表示 n 元集合上的交錯(cuò)群。交錯(cuò)群在有限群理論中具有重要地位。當(dāng)時(shí)，An是單群。

置換群[permutation group]

置換群是由置換組成的群。一個(gè)有限集合到自身的雙射稱為置換（permutation）。設(shè) Ω 為有限集合，其元素按慣例稱為點(diǎn)。若α 為Ω 中一點(diǎn)，g 為Ω 一個(gè)置換，通常把α 在 g 下的像記作αg。設(shè)Ω={1,2,...,n}，則 Ω 的置換可表成

的形狀，這里把每個(gè)點(diǎn)的像寫在點(diǎn)的下方。

例如，Ω={1,2,3,4,5}，

就表示這樣一個(gè)置換，它把 1 映成 2，把 2 映成 3，把 3 映成 1，把 4 和 5 互換。此時(shí)我們也把 g 寫作 g=(123)(45) 的形狀。

一般地，Ω={1,2,...,n} 上的任何置換都可以寫成

的形狀，這里 都是Ω 的點(diǎn)，而且Ω 的每個(gè)點(diǎn)在右端恰好出現(xiàn)一次。上面的寫法表示，g 把α1 映成α2，把α2 映成α3,...,又把α3 映成α1。同樣，g 把β1 映成β2 ，把β2 映成β3,..., 又把βt 映成β1，等等。此處的 都稱為 輪換 (cycle)，s,t,...,u 稱為它們的長(zhǎng)度（length）。這種表示稱為置換的輪換分解（eycle decomposition）。在此分解中出現(xiàn)的各輪換的長(zhǎng)度之和為Ω 的長(zhǎng)度 n。按照上面的方法，(123)(45) 也可寫成(231)(54)，或(312)(45)，或(45)(231)等。這就是說(shuō)，在輪換的分解中，各輪換的次序可以改變，同時(shí)輪換 也可用 代替。我們還規(guī)定，在用輪換分解來(lái)表示置換時(shí)，長(zhǎng)度為 1 的輪換可以省略。

若Ω 有 n 個(gè)點(diǎn)，則Ω 點(diǎn)置換共有 n！個(gè)。設(shè) g，h 為兩個(gè)置換，它們作為映射可用相乘，把乘積記住 gh，點(diǎn)α 在 gh 下的像為。Ω 的全體置換在上述乘法下成為一個(gè)群，它稱為Ω 上的對(duì)稱群（symmetric group)，通常記住 Sym(Ω)。Sym(Ω)的任意子群稱為Ω 上的置換群。

長(zhǎng)度為 2 度輪換稱為對(duì)換（transposition)。任何一個(gè)長(zhǎng)度 2 的輪換可以寫成對(duì)換可以寫成對(duì)換的乘積。實(shí)際上，，有

。

進(jìn)而每個(gè)置換都可以寫成對(duì)換的乘積。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)