[科普中國(guó)]-自然同態(tài)

概念

自然同態(tài)(natural homomorphism of a group)亦稱標(biāo)準(zhǔn)同態(tài)或典范同態(tài)。群到其商群上的一種特殊同態(tài)。若N是群G的一個(gè)正規(guī)子群，則存在G到商群G/N上的一個(gè)映射f：g?Ng.這個(gè)映射是G到G/N的滿同態(tài)，稱為自然同態(tài)，其中：1

Imf=G/N， ker f=N.

同態(tài)設(shè)E與F為兩個(gè)群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?。稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對(duì)于E的任一元素偶(x，y)，有：

設(shè)E與F為兩個(gè)幺半群(兩個(gè)群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，后一個(gè)條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素。由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個(gè)環(huán)(兩個(gè)體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài)。這就是說，對(duì)A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設(shè)n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對(duì)應(yīng)其對(duì)模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設(shè)E與F為兩個(gè)A-代數(shù)(兩個(gè)酉A-代數(shù))。稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對(duì)應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。

同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：2

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群；時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

商群商群亦稱因子群，又稱模H的剩余類群。由正規(guī)子群的陪集組成的一種群。設(shè)H是群G的一個(gè)正規(guī)子群，G關(guān)于H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法：(xH)(yH)=(xy)H成為一個(gè)群，稱為G關(guān)于H的商群。由于H是正規(guī)子群，xH=Hx，所以G/H也是H的右陪集所成的集合，因此，無論用左陪集還是右陪集來定義商群，結(jié)果是一致的。當(dāng)G是加法群時(shí)，G/H也常寫成G-H，稱為差群。

設(shè)G為群，R為與G的法則相容的G中之等價(jià)關(guān)系。 賦以商法則，則商集G/R是群，稱在G對(duì)R的商群。G的中性元素的等價(jià)類是G的正規(guī)子群。反之，對(duì)G的任一正規(guī)子群G′，由滿足：

的偶(x，y)定義的關(guān)系R是與G的法則相容的等價(jià)關(guān)系。商群G/R叫做G對(duì)G′的商群，記為G/G′。

正規(guī)子群亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設(shè)H是群G的一個(gè)子群，若對(duì)任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個(gè)正規(guī)子群，記為HG。子群H是G的正規(guī)子群的充分必要條件是對(duì)于任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個(gè)正規(guī)子群，稱為G的平凡正規(guī)子群。3