[科普中國(guó)]-不可約元素

定義

不可約元素是抽象代數(shù)中的名詞，是指在整環(huán)或者非整環(huán)中一個(gè)非零、非單位的元素。

不可約元素(irreducible element)一類特殊的元素，是格中的一類非最小元素，格1非最小元素a。若滿足當(dāng)a=bV時(shí)必有a=6或a=c，則稱a為結(jié)一不可約元素。簡(jiǎn)言之，此類元素不可能表示為其他二元素之結(jié)，對(duì)稱地有交一不可約元素，它不可能表示為其他二元素之交。結(jié)一不可約元素和交一不可約元素統(tǒng)稱為不可約元素，當(dāng)格L為單鏈C時(shí)，其所有元素均為不可約元素。2

與質(zhì)元素的關(guān)系 不可約元素和質(zhì)元素不同，交換環(huán)內(nèi)的非零、非單位元素 為質(zhì)元素，表示若在交換環(huán) 內(nèi)存在b及c，使得 a|bc，則 a|b或 a|c必定有一個(gè)成立。2

在整環(huán)中，每一個(gè)質(zhì)元素都是不可約元素，但一般而言，不可約元素不會(huì)是質(zhì)元素。只有在唯一分解整環(huán)（或范圍更廣的GCD環(huán)）中的不可約元素才一定是質(zhì)元素。

再者，一個(gè)用質(zhì)元素產(chǎn)生的理想為素理想，但由不可約元素產(chǎn)生的理想一般不會(huì)是不可約理想。不過，若D為GCD環(huán)，且x為D環(huán)中的不可約元素，則產(chǎn)生的理想會(huì)是素理想。

應(yīng)用證明：交換環(huán)中每一個(gè)質(zhì)元素都是不可約元素。

考慮 p為一個(gè)可約的質(zhì)元素： p=ab，則 或 。假如 ，則可得 。因?yàn)镽為整環(huán)，因此可得 cb=1。因此b為單位元素，而p是不可約元素。1

舉例這個(gè)反例說明并非每一個(gè)不可約元素都是質(zhì)元素。

在二次整數(shù)環(huán)中，可以用范數(shù)證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質(zhì)元素，因?yàn)?/p>

但3無法整除 ，也無法整除 。