[科普中國]-純子群

概念

純子群(pure subgroup)是研究阿貝爾群的重要工具之一。設G是阿貝爾群，H是G的一個子群。若對所有整數(shù)n≥0，均有nG∩H=nH，其中nG表示G的所有元素的n倍組成的子群；等價地，若對任一非負整數(shù)n和H的任意元素h，只要在G中存在元素g使得h=ng，就可以在H中找到某一元素h1使得h=nh1，則稱H是G的純子群。阿貝爾群G的直和項H一定是G的純子群；反之，純子群不一定是阿貝爾群的直和項。例如，阿貝爾群G的周期子群T是G的純子群，但是T不一定是G的直和項。若阿貝爾群G的純子群H是一個周期群，并且H的元素的階一致有界，則H是G的一個直和項。一般地，若H是阿貝爾群G的純子群且商群G/H可分解為循環(huán)群的直和，則H是G的直和項。1

群群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結構；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：2

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關于通常的乘法構成一個群;時針轉動(關于模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

子群群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為H