[科普中國(guó)]-單演N群

概念

單演N群(monogenic N-group)是一類極其重要的N群。設(shè)Γ是一個(gè)N群，若存在一個(gè)元素γ∈Γ，使得Nγ=Γ，則稱NΓ是由γ單演的，γ稱為NΓ的一個(gè)生成元.一個(gè)單演N群NΓ，若γ∈Γ，有Nγ={0}或者Nγ=Γ，則稱NΓ為強(qiáng)單演的。

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：2

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

N群N群是環(huán)模概念的推廣。設(shè)N是一個(gè)擬環(huán)，(Γ，+)是一個(gè)群，映射μ：N×?！Ｊ沟?n，γ)→nγ，若對(duì)于任意的γ∈Γ，n1，n2∈N滿足：

(n1+n2)γ=n1γ+n2γ;

(n1n2)γ=n1(n2γ)，

則稱(Γ，μ)為一個(gè)N群，記為NΓ。對(duì)于Γ的子群Δ，若滿足NΔΔ，則稱Δ為NΓ的一個(gè)N子群。Ω=N0=Nc0是NΓ的最小N子群。N群與擬環(huán)之間存在著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，擬環(huán)的某些特性可以用N群刻畫，N群中成立著許多與擬環(huán)相應(yīng)的結(jié)果。

單演一個(gè)群稱為單演群，如果它是由它的某一個(gè)元素所生成的。 任一單演群皆是交換的. 無限單演群同構(gòu)于整數(shù)加法群Z. n階有限單演群同構(gòu)于模n的全體剩余類之加法群Z/nZ。

一個(gè)模稱為單演模，如果它是由它的某一個(gè)元素所生成的。例如，記為加法的任一單演群可視為單演Z-模。一個(gè)向量空間是單演向量空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是0維或1維的.設(shè)f為交換體K上之向量空間E的自同態(tài)。考慮E上由映射

所定義的K[X]-模的結(jié)構(gòu)。所有單演子模叫做關(guān)于f的單演子模。

環(huán)環(huán)是對(duì)并與差運(yùn)算封閉的集類，測(cè)度論中重要概念之一。設(shè)F是Ω上的一個(gè)非空集類。如果它對(duì)集的并及差運(yùn)算封閉，即對(duì)任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環(huán)。例如，若F是由實(shí)直線R上任意有限個(gè)左開右閉的有限區(qū)間的并集：

的全體構(gòu)成的集類，則F是R上的一個(gè)環(huán).環(huán)也是對(duì)于交與對(duì)稱差運(yùn)算封閉的集類，并按這兩種運(yùn)算成為布爾環(huán)。要把R上的勒貝格測(cè)度和勒貝格-斯蒂爾杰斯測(cè)度以及相應(yīng)的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類并研究其性質(zhì).環(huán)以及半環(huán)、σ環(huán)、代數(shù)、σ代數(shù)等重要集類正是為了這一目的而引入的。

模模是一個(gè)重要的代數(shù)系統(tǒng)。它是一個(gè)帶算子區(qū)A的交換(加)群M.給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，并且這個(gè)積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區(qū)，稱M為帶算子區(qū)A的模，又稱為A上的?；駻模.這時(shí)，由對(duì)應(yīng)(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運(yùn)算.任意a∈A可誘導(dǎo)出M的自同態(tài)aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)， a→aM.

特別地，考慮A是結(jié)合環(huán)，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環(huán)同態(tài)，則稱M為左A?；蜃蟓h(huán)模.由于A到M上的運(yùn)算是寫在左側(cè)，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉?；蜱勰?，以下設(shè)A模都是酉模。3