[科普中國]-局部可解群

概念

局部可解群(locally soluble group)是最重要的廣義可解群之一。若群G的每一有限子集都包含在G的某一可解子群中，則稱G為局部可解群。雖然，局部可解群是最自然的廣義可解群，但是，由于在局部可解群中沒有類似于局部冪零群的希爾施-普洛特金定理，所以人們對這類群的結(jié)構(gòu)了解甚少。已知的一些結(jié)果基于下列定理：局部可解群的主因子是阿貝爾群。2

群群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群;時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

可解群可解群是一種重要的群類。即可由交換群經(jīng)有限步疊加而得的群。若群G有一個有限長的正規(guī)群列G≥G1≥G2≥…≥Gn=1，使得每個商因子都是交換群，則稱G是一個可解群，或稱G是可解的。可解群的概念源自伽羅瓦(Galois，E.)對解代數(shù)方程的研究，他發(fā)現(xiàn)由一個代數(shù)方程的所有解可產(chǎn)生一個置換群(也就是擴域的自同構(gòu)群，稱之為一個伽羅瓦群)，這個代數(shù)方程能用根式解出當(dāng)且僅當(dāng)該群具有正規(guī)列.可解群的名稱由此而來?；魻?Hall，P.)于20世紀30—40年代對有限可解群理論做了奠基性貢獻。費特-湯普森奇階定理成為另一個里程碑。近幾十年，有限可解群研究仍屬活躍領(lǐng)域。例如群系等群類理論就始于有限可解群研究并以可解群為重點。對無限可解群的研究也有了長足的進步。盡管有限可解群的研究方法與成果不能完全推到無限可解群，但帶交換商因子的正規(guī)列這一定義條件使很多思想與工具，如模論、表示論等，均可發(fā)揮出色的作用。3

對偶概念——廣義可解群廣義可解群是無限群論的重要研究對象之一，泛指滿足某些群論性質(zhì)的群，這些群論性質(zhì)在有限群中等價于群的可解性。由于在一般的廣義可解群中很難得到一些非平凡的結(jié)果，所以在研究廣義可解群時常常附加一些有限性條件。局部可解群以及若干種由廣義序列定義的廣義可解群是常見的廣義可解群。

研究科目——無限群論

無限群論是群論的一個獨立分支。主要研究無限群(元素個數(shù)無限的群)的理論。19世紀末，由于幾何和拓撲研究的需要，無限群作為由一系列生成元及定義關(guān)系所定義的群出現(xiàn)?？巳R因(Klein，C.F.)、李(Lie，M.S.)等對無限群的產(chǎn)生有很大的影響。20世紀20年代和30年代，貝爾(Baer，R.)、施米特(Щмирт，О.Ю.)和庫洛什(Курош，А.Г.)等對無限群的發(fā)展起了重要作用。不假定群階有限性而敘述群論基礎(chǔ)的第一本書是1916年出版的施米特的《抽象群論》。由于各國群論工作者，特別是德國、英國和蘇聯(lián)的群論專家的努力，使無限群論日趨完善，到20世紀40年代已經(jīng)形成獨立的理論體系，成為群論的一個新分支，其中最精彩的理論是霍爾(Hall，P)和馬爾采夫(Малцев，А.И.)關(guān)于無限可解群的工作。1940年出版的庫洛什的名著《群論》對無限群論的發(fā)展起了重要作用，特別是1955年出版的這本書第二版的英譯本。魯賓孫(Robinson，D.J.S.)于1972年出版的《有限性條件和廣義可解群》是繼庫洛什的《群論》之后最重要的無限群著作之一。

無限群論的大量工作是將有限群的許多好的結(jié)果推廣到無限群中去。這樣，一方面就導(dǎo)致比群階的有限性弱的一些有限性條件;另一方面引入了一些在有限群中是等價的但在無限群中卻不同的性質(zhì)，由此產(chǎn)生了許多種類的廣義可解群和廣義冪零群.正如庫洛什指出“……一個新的群論分支……它的任務(wù)是在某種意義上接近群階的有限性的條件限制下，研究在某種意義上接近阿貝爾群的群”。所以，無限群論的主要研究對象是廣義冪零群、廣義可解群和滿足所謂有限性條件的群。目前，無限群論仍然是一個比較活躍的數(shù)學(xué)分支。4

阿貝爾群阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由于阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元).用加法表示的交換群稱為加法群或加群。