[科普中國(guó)]-格序群

格的概念

“格”一種特殊的偏序集。在許多數(shù)學(xué)對(duì)象中，所考慮的元素之間具有某種順序。1

例如，一組實(shí)數(shù)間的大小順序；一個(gè)集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊(yùn)涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質(zhì)及作用而產(chǎn)生的概念和理論。

格論在代數(shù)學(xué)、射影幾何學(xué)、集合論、數(shù)理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數(shù)學(xué)分支中都有應(yīng)用。例如，在代數(shù)學(xué)中，對(duì)于一個(gè)群G與其子群格（G）之間關(guān) 系的研究。在數(shù)理邏輯中，關(guān)于不可解度的研究。

格的定義：設(shè)（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個(gè)元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

格h格 設(shè)(L，￡)是一個(gè)偏序集，如果對(duì)于"a,b?L，L的子集{a,b}在L中都有一個(gè)最大下界(記為inf{a,b})和一個(gè)最小上界(記為sup{a,b}),則稱(L，￡)是一個(gè)偏序格.

子集在L中有上確界和下確界的偏序集，就是格。

h代數(shù)格 在L定義二元運(yùn)算*和·，滿足：對(duì)"a,b,c?L,有

(1) 交換律 a*b=b*a，a·b=b·a

(2)結(jié)合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)

(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a

則稱(L，*，·)是代數(shù)格.

用代數(shù)的語(yǔ)言，格就是在非空集合上定義了兩個(gè)滿足結(jié)合律、交換律和吸收律的運(yùn)算。

群的概念在數(shù)學(xué)中，群表示一個(gè)擁有滿足封閉性、結(jié)合律、有單位元、有逆元的二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括阿貝爾群、同態(tài)和共軛類。

若集合 ，在 上的二元運(yùn)算（該運(yùn)算稱為群的乘法，其結(jié)果稱為積） 構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu) ，，滿足：

1. 封閉性：即G的任意兩個(gè)元素在 下的運(yùn)算結(jié)果都是該集合的一個(gè)元素。（ ， ）。

2.結(jié)合律： ， ；

3.單位元： 中存在元素 ，使G中任一元素 與之相乘（包括左乘和右乘）的結(jié)果都等于 本身。（ ，使 ，有 ）；

4. 逆元： ， ，使得 ， 稱為 的逆元，記為 。（逆元具有唯一性，即：由 可以推出 ）

則 稱為一個(gè)群，或乘法群。

有時(shí)由于上下文的原因，群上的二元運(yùn)算亦可稱為加法，此時(shí)該運(yùn)算通常記為 ，群元素的運(yùn)算也被記為如同 的形式，而群也可被稱為加法群。此種情況下，往往加法還有可交換的性質(zhì)。2

格序群的概念格序群亦稱格群或l群。一種具有格序關(guān)系的群。若偏序群G作為偏序集是格，則稱G為格序群。格群是分配格。設(shè)G既是群又是格，則G是格序群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a，b，x，y∈G，滿足：

a+(x∨y)+b=(a+x+b)∨(a+y+b)，

a+(x∧y)+b=(a+x+b)∧(a+y+b).

除去平凡的格群外 ，沒(méi)有有限格群。

格序群上的C-拓?fù)涓裥蛉篈是一個(gè)偏序Abel群使得對(duì)于任意元素x, y ∈ A，存在上確界sup(x, y)和下確界inf(x, y)。一個(gè)格序群被稱作是Archimedean，如果其中沒(méi)有非平凡的有界格子群。例如，令X為任意拓?fù)淇臻g，C(X)為所有從X到賦予通常拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的實(shí)數(shù)拓?fù)淇臻g R 的全體連續(xù)函數(shù)組成的加法群，則C(X)在逐點(diǎn)序之下為一個(gè)Archimedean格序群。事實(shí)上，格序群的源泉可追溯到當(dāng)Dedekind在研究Fermat大定理時(shí)發(fā)展的算術(shù)理論。此后，從Hilbert的幾何基礎(chǔ)開(kāi)始，到他的積分方程理論直至拓?fù)湎蛄靠臻g中的算子理論，格序群理論逐漸出現(xiàn)在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。例如，以Riesz空間命名的格序?qū)嵪蛄靠臻g理論在泛函分析中也是很重要的。

令A(yù)為一個(gè)格序群。A的范數(shù)N定義為：對(duì)于任意x ∈ A，N(x) =sup(x, ?x)。設(shè)a ∈ A,則a的正部是a+= sup(a, 0), a的負(fù)部是a?= sup(?a,0)。易驗(yàn)證：3

且N(a) = 0當(dāng)且僅當(dāng)a = 0。格序群A的一個(gè)非空正元素子集F被稱作是一個(gè)濾子，如果a, b ∈ F 蘊(yùn)涵inf (a, b) ∈ F ，且c ∈ F 只要c≥a∈ F。

設(shè)A為一個(gè)2-可除的格序群，A的一個(gè)由某些嚴(yán)格正元組成的濾子C叫作A的一個(gè)容許子集，如果x ∈ C 蘊(yùn)涵x/2 ∈ C對(duì)于一個(gè)容許子集C ? A，我們說(shuō)A是C -Archimedean。如果對(duì)C中所有的元素x, y,存在自然數(shù)n使得ny > x。格序群A叫作是一個(gè)C-群。如果A是2-可除的且是C-Archimedean.若A是一個(gè)2-可除并帶有一個(gè)容許子集C的格序群.以r ∈ C 為半徑,以x0∈ A 為中心的開(kāi)C-球是集合：

格序群A中的序列 {xn}n∈N稱作是依范數(shù)收斂于x，如果對(duì)于A的所有嚴(yán)格正元，存在m ∈ N,使得對(duì)于任n m 有N (xn? x)