[科普中國]-內(nèi)射對象

簡介

在數(shù)學(xué)方面，特別是在類別理論領(lǐng)域，內(nèi)射對象的概念是內(nèi)射模概念的泛化。 這個(gè)概念在同倫論和模型類理論中是很重要的。 另一個(gè)概念是投影對象。1

定義定義C是一個(gè)類，讓H成為C的一類態(tài)射。

如果對于每個(gè)態(tài)射 ，以及H中的每個(gè)態(tài)射： ，存在一個(gè)態(tài)射 可以將H傳遞到f，這樣，C中的對象Q被認(rèn)為是注入了H，表示為

上述定義中的態(tài)射g不需要由h和f唯一確定。

在一個(gè)小類別中，這相當(dāng)于要求hom 函子 承載著H態(tài)射。

H的類選擇是單態(tài)的類，在這種情況下，內(nèi)射對象的表達(dá)就被使用到了。2

阿貝利例子阿貝爾例子是內(nèi)射概念的原始框架（仍然是最重要的一個(gè)例子）。 如果C是一個(gè)阿貝爾類，則C的對象A是內(nèi)射如果它的函子 是準(zhǔn)確的。

讓

在C中是一個(gè)確切的順序，這樣A就是內(nèi)射的。 那么當(dāng)且僅當(dāng)C是內(nèi)射的時(shí)候，序列就會(huì)發(fā)生分裂并且B也是內(nèi)射的。

充足的內(nèi)射讓C成為一個(gè)類，H是C的一類態(tài)射；如果從X到H的內(nèi)射對象中存在一個(gè)H態(tài)射的話，那么對于C類中的每個(gè)對象X都有充足的H態(tài)射。并且，H通常是單態(tài)的類，并且對于C的每個(gè)對象X具有足夠的內(nèi)射，存在來自X的單態(tài) 到一個(gè)內(nèi)射對象。

內(nèi)射體如果對于任何態(tài)射f，僅當(dāng)f在H中時(shí)，復(fù)合fg也在H中，那么在C中的H形態(tài)g被稱為重要的H。如果H 是單態(tài)的類，g被稱為重要的單態(tài)。

如果f是具有域X和H內(nèi)射密碼子，則將G稱為X的H內(nèi)射體。這種H內(nèi)射體是唯一的。

舉例（1）在阿貝爾群和群同態(tài)的類中，內(nèi)射對象是一個(gè)可分割的群。

（2）在模和模同態(tài)的類中，R-Mod是一個(gè)內(nèi)射模。 R-Mod具有內(nèi)射體。

（4）在度量空間和非擴(kuò)展映射的類別中，內(nèi)射對象是內(nèi)射度量空間。

（5）在T0空間和連續(xù)映射的類中，內(nèi)射對象始終是連續(xù)格上的Scott拓?fù)?，因此總是局部緊湊。

（6）在簡單集合的類別中，關(guān)于無限擴(kuò)展類的內(nèi)射對象是Kan復(fù)合體。

（7）另外還討論了更一般類別中的內(nèi)射對象，例如在某些環(huán)形空間（X，OX）上的函數(shù)類別或OX模塊的滑輪類別中。3