[科普中國]-單位態(tài)射

單位態(tài)射(unit morphism)亦稱可逆態(tài)射，是集合范疇中單位映射(可逆映射)概念的推廣。設(shè)f:A→B為范疇C中的態(tài)射，若有態(tài)射u使uf=εA(A上的恒等態(tài)射)，則稱f為左可逆態(tài)射，稱u為f的左逆態(tài)射。若有態(tài)射v使fv=εB，則稱f為右可逆態(tài)射，稱v為f的右逆態(tài)射。若f同時(shí)為左可逆態(tài)射與右可逆態(tài)射，就稱f為單位態(tài)射。當(dāng)f是單位態(tài)射時(shí)，上述的u=v。因此單位態(tài)射又稱為等價(jià)態(tài)射。

定義設(shè)是范疇，，如有，使得

則稱等價(jià)(或同構(gòu))。滿足上述條件的叫做單位態(tài)射(或同構(gòu)態(tài)射)。

相關(guān)概念等價(jià)態(tài)射等價(jià)態(tài)射(equivalent morphism)亦稱同構(gòu)態(tài)射，它是群論、環(huán)論、模論中同構(gòu)概念的推廣，因此也簡稱同構(gòu)。在范疇中可用它們將其對象類分成等價(jià)類進(jìn)行研究，因此起著重要的作用，設(shè)C為范疇， ，若有 使 且 (ε表恒等態(tài)射)，則 都稱為等價(jià)態(tài)射且互稱為逆態(tài)射，此時(shí)稱對象 為等價(jià)的。等價(jià)態(tài)射一定是單位態(tài)射**，反之亦然**。等價(jià)態(tài)射之逆是惟一的1。

單態(tài)射單態(tài)射是集合范疇 中單射概念的推廣，它與滿態(tài)射是互為對偶的概念。范疇C中的態(tài)射 ，若有左可消性質(zhì)，即對使態(tài)射合成有意義的態(tài)射 ，由 可斷定 ，則稱 為C中的單態(tài)射，若 為單態(tài)射,則 必為單態(tài)射；單態(tài)射的合成仍為單態(tài)射；單位態(tài)射必為單態(tài)射；甚至左可逆態(tài)射也是單態(tài)射。

滿態(tài)射滿態(tài)射是集合范疇中滿射概念的推廣，它是單態(tài)射的對偶概念。范疇C中的態(tài)射 ，若有右可消性質(zhì)，即由態(tài)射合成 可斷定 ，則稱 為C中的滿態(tài)射，若 為滿態(tài)射，則 為滿態(tài)射；滿態(tài)射的合成仍為滿態(tài)射；**單位態(tài)射必是滿態(tài)射,甚至右可逆態(tài)射也是滿態(tài)射。**在群范疇中滿態(tài)射即滿同態(tài)；在環(huán)范疇中滿同態(tài)為滿態(tài)射，但反之不真。

雙態(tài)射雙態(tài)射是集合范疇中雙射概念的推廣，在范疇中同時(shí)為單態(tài)射與滿態(tài)射的態(tài)射稱為雙態(tài)射。換言之，雙態(tài)射即滿足左可消與右可消的態(tài)射，在群范疇與阿貝爾群范疇等范疇中，雙態(tài)射就是滿單同態(tài)(同構(gòu))。單位態(tài)射一定是雙態(tài)射，但反之一般不真**，在阿貝爾范疇中雙態(tài)射即單位態(tài)射1**。

阿貝爾范疇阿貝爾范疇(Abelian category)是一種特殊的加性范疇，因此具有更豐富的性質(zhì)。一個(gè)加性范疇C稱C為阿貝爾范疇，若再滿足下述三條件：

1.任何態(tài)射f都有核kerf與上核coker f；

2.任何單(滿)態(tài)射都是其上核(核)的核(上核)；

3.任何態(tài)射σ都可分解為一個(gè)單態(tài)射η與一個(gè)滿態(tài)射π的合成σ=ηπ(稱為σ的標(biāo)準(zhǔn)分解式)。

阿貝爾群范疇、環(huán)R上的R模范疇都是阿貝爾范疇，阿貝爾范疇具有加性范疇的一切性質(zhì)，阿貝爾范疇的對偶范疇仍為阿貝爾范疇，阿貝爾范疇中既單且滿的態(tài)射是單位態(tài)射，阿貝爾范疇在同調(diào)代數(shù)及代數(shù)幾何中都是最常用的一類范疇1。

態(tài)射的核態(tài)射的核(kernel of a morphism)是群論中同態(tài)核概念的推廣(不過在群論中同態(tài)核是一個(gè)正規(guī)子群，而在群范疇中則是指此正規(guī)子群及其在群中的嵌入同態(tài))，態(tài)射的核是態(tài)射的上核之對偶概念。設(shè)范疇C有零對象(因而有零態(tài)射0)，f∈Hom(A，B)，所謂f的核ker f，是指C的一個(gè)對象K與一個(gè)態(tài)射η∈Hom(K，A)組成的對(K，η)，它滿足：1.η為單態(tài)射；2.fη=0；3.對任何g∈Hom(D，A)，只要fg=0就必有τ∈Hom(D，K)使ητ=g (條件1可去掉，但在3中須強(qiáng)調(diào)“必有惟一的τ”)。

若f的核存在，則在等價(jià)意義下是惟一的，有時(shí)為強(qiáng)調(diào)態(tài)射也可不提K而稱η為f的核，因此，單態(tài)射的核是零態(tài)射0，零態(tài)射的核是單位態(tài)射。

態(tài)射的上核態(tài)射的上核(cokernel of a morphism)是群論中同態(tài)的上核概念的推廣(不過，在群論中同態(tài)的上核是指一個(gè)商群，而在群范疇中是指此商群及群到此商群的滿同態(tài))，態(tài)射的上核是態(tài)射的核的對偶概念。設(shè)范疇C有零對象(因而有零態(tài)射0)，f∈Hom(A，B)，所謂f的上核coker f，是指C的一個(gè)對象W與一個(gè)態(tài)射π∈Hom(B，W)組成的對(W，π)，它滿足：1.π是滿態(tài)射；2.πf=0；3.對任何的g∈Hom(B，C)，只要gf=0就必有τ∈Hom(W，C)使τπ=g (條件1可去掉，但在條件3中須強(qiáng)調(diào)“必有惟一的τ”)。

在等價(jià)意義下，f的上核如存在必惟一.，有時(shí)為強(qiáng)調(diào)態(tài)射也可不提W而稱π為f的上核，且記為coker f=π，因此，滿態(tài)射的上核是零態(tài)射0，零態(tài)射的上核是單位態(tài)射1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)