[科普中國(guó)]-希爾伯特模曲面

希爾伯特模曲面是模形式的 2 維推廣。設(shè)O是一個(gè)判別式為 d 的實(shí)二次域的代數(shù)整數(shù)環(huán)，希爾伯特模群作用于 2 維的上半復(fù)平面，可以通過(guò)添加有限多個(gè)點(diǎn)使正規(guī)復(fù)空間緊致化，從而得到一個(gè)正規(guī)曲面。

簡(jiǎn)介希爾伯特模曲面是模形式的 2 維推廣。設(shè) 是一個(gè)判別式為 d 的實(shí)二次域的代數(shù)整數(shù)環(huán)。

希爾伯特模群 作用在兩個(gè)單位圓盤的乘積 上，通過(guò)添加有限多個(gè)點(diǎn)使正規(guī)復(fù)空間 緊化，從而得到一個(gè)正規(guī)曲面。通過(guò)一典范方法解消曲面上的奇點(diǎn)，從而得到光滑緊復(fù)曲面 Y(d) ，稱 Y(d) 為具有判別式 d 的希爾伯特模曲面。

性質(zhì)Y(d) 是單連通的，所以有 q=(Y(X))=0。

當(dāng) d=5，8，12，13，17，21，24，28，33，60時(shí)，Y(d) 是有理曲面；

當(dāng) d=29，37，40，41，44，56，57，69，105 時(shí)，Y(d) 雙有理等價(jià) K3 曲面；

當(dāng) d=53，61，65，73，76，77，85，88，92，93，120，140，165 時(shí)，Y(d) 是橢圓曲面。

其他情形的 Y(d) 是一般型極小曲面。1

相關(guān)概念有理曲面在代數(shù)幾何里，有理曲面（rational surface）是指一個(gè)雙有理等價(jià)于投影平面的曲面；換句話說(shuō)，即為一個(gè)二維有理簇。有理曲面是復(fù)曲面的十余種恩里克斯-小平分類中最簡(jiǎn)單的一類，且是第一個(gè)被研究的曲面。

K3曲面以庫(kù)默爾，凱勒，小平邦彥命名的曲面，這是具有平凡典范叢的單連通緊復(fù)解析曲面，其小平維數(shù)是 0 。其滿足 Pg=1，q=0，K≡0。

橢圓曲面橢圓曲面就是以橢圓曲線 (虧格的Riemann面) 為一般纖維，具有這種纖維結(jié)構(gòu)的復(fù)曲面 (2維緊復(fù)流形)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)