[科普中國]-提升冪等元

提升冪等元是環(huán)論的基本概念之一，指剩余類環(huán) R/?? 的冪等元轉(zhuǎn)化為 R 的冪等元。

簡介提升冪等元是環(huán)論的基本概念之一，指剩余類環(huán) R/?? 的冪等元轉(zhuǎn)化為 R 的冪等元。

性質(zhì)設(shè) ?? 是 R 的理想， 是 R/?? 的冪等元，若存在 R 的冪等元 e ，在自然同態(tài) v 下有 v(e)=ε ，則稱 ε 提升到 e，若對 R/?? 到正交冪等元集 ，存在 R 的正交冪等元集 ，使得 ，則稱 R/?? 的正交冪等元集 可提升為 R 的正交冪等元集。

若 ?? 是 R 的詣零理想，則 R/?? 的任意有限或可數(shù)正交冪等元集均可提升為 R 的正交冪等元集。若對 R 的每個理想 ?? 而言， R/?? 的冪等元皆可提升為 R 的冪等元，則稱 R 為提升環(huán)，若 N 為 R 的一個根， R/N 的冪等元可提升為 R 的冪等元，則稱 R 對根 N 是提升的。

剩余類環(huán)(residue class ring)

剩余類環(huán)是有理整數(shù)環(huán)的剩余類環(huán)Z/mZ的推廣。設(shè){F，S}為普通算術(shù)域，且F對S中每一賦值的剩余類域均為有限域，設(shè)O為F的S整數(shù)環(huán)，A，B為O的理想，記N(A)=#(O/A)，稱為A的范數(shù)，它是積性的，O/A有許多類似于Z/mZ的性質(zhì)：

1.bx≡c(mod A)有解當(dāng)且僅當(dāng)(b，A)除盡c，且模A/(b，A)解惟一(式中b，c，x∈O)；

2.以Φ(A)記環(huán)O/A中單位元個數(shù)，若(A，B)=1，則Φ(AB)=Φ(A)Φ(B)，且Φ(A)=N(A)∏(1-1/N(p))，式中p|A過素理想∑Φ(B)=N(A)，式中B|A過理想；

3.若b∈O，(b，A)=1，則bΦ(A)≡1(mod A)。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)