[科普中國(guó)]-局部道路連通空間

局部道路連通空間是一類拓?fù)淇臻g。設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若對(duì)于任意x∈X和x的任意鄰域U，存在x的一個(gè)道路連通的鄰域V使得V包含于U，則稱X為局部道路連通空間。

簡(jiǎn)介定義設(shè)X為拓?fù)淇臻g，對(duì) ，如果X在x處是局部道路連通的，則稱X為局部道路連通空間。1

相關(guān)定義（1）設(shè)X為拓?fù)淇臻g， 分別為 的鄰域系與鄰域基，如果對(duì) ，V是X的道路連通子集，則稱 為 的道路連通鄰域基，簡(jiǎn)稱 為 的道路連通鄰域基。

（2）設(shè)X為拓?fù)淇臻g，如果對(duì) ，V是X的道路連通子集，存在 的道路連通鄰域V，使得 ，則稱X在 處是局部道路連通的。2

推論（1）拓?fù)淇臻gX在 是局部道路連通的當(dāng)且僅當(dāng)X在 處存在道路連通鄰域基。

（2）X是局部道路連通空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì) ，都存在x的道路連通鄰域基。

證明：根據(jù)上述定義及推論，拓?fù)淇臻gx是局部道路連通空間等價(jià)于對(duì) ，X在x處是局部道路連通的。等價(jià)于 對(duì) ，存在x的道路連通鄰域基。

（3）實(shí)數(shù)空間R是局部道路連通空間。

證明：對(duì) ，則x的所有球形鄰域構(gòu)成的集族 為x的鄰域 基。又因?yàn)镽中的球形鄰域都是道路連通的 開(kāi)區(qū)間，所以 為x的道路連通鄰域基。由上述定義和推論得，R為局部道路連通空間。

（4）局部道路連通空間必為局部連通空間。

證明：設(shè)x是局部道路連通空間，由上述定 義和推論得，對(duì) ，存在x的道路連通鄰域基 ，使得對(duì) ，滿足 ，因?yàn)関是道路連通的，因而也是連通的，所以 是 x 的連通鄰域基，因此X是局部連通空間。

（5）設(shè)C是拓?fù)淇臻gx的一個(gè)道路連通分支，Y為x的道路連通子集，并且 ，則 包含于C。

證明：因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/LKKUypG4kDc63n2NNwLtOkwAik8EdA7lUJPd.jpg" alt="" /> ，故任取 ，對(duì)任意y∈Y， 由于Y是X的道路連通子集，而x,y∈Y，所以x與 y是道路連通的，因而x與y屬于x的同一個(gè)道路連通分支，又x∈C，C是x的道路連通分支，從而y∈C，所以Y包含于C。

（6）道路連通分支是拓?fù)淇臻g中最大的道路連通子集。

（7）設(shè)X為拓?fù)淇臻g，Q為X的基，如果Q中每個(gè)成員都是道路連通，則稱Q為X的道路連通基。

（8）設(shè)X為拓?fù)淇臻g，則下列條件等價(jià)：

X 是局部道路連通空間；

X 任意開(kāi)集的任意道路連通分支都是開(kāi)集；

X 有一個(gè)道路連通基；

對(duì)所有的x∈X，存在 x 的道路連通鄰域基。

（9）局部道路連通空間的每一個(gè)道路連通分支都是開(kāi)集。

（10）設(shè)X為局部道路連通空 間，Y為拓?fù)淇臻g， 為連續(xù)滿的開(kāi)映射,則Y是局部道路連通空間。

（11）局部道路連通性是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)。

（12）局部道路連通性是有限可積性質(zhì)。

（13）n維歐氏空間 是局部道路連通空間。

（14）局部道路連通空間的每一個(gè)開(kāi)子空間都是局部道路連通空間。

證明：設(shè)X是局部道路連通空間，U為X的任意開(kāi)集，V為U的任意開(kāi)子集，則V也是X的開(kāi)集，由定理，V的每一個(gè)道路連通分支都是X的開(kāi)集，故V的每一個(gè)道路連通分支也是V的一個(gè)開(kāi)集，從而V的每個(gè)道路連通分支也是U 的一個(gè)開(kāi)集，U是X的局部道路連通開(kāi)子空間。

（15）局部道路連通性對(duì)開(kāi)子空間是可遺傳的。

（16）設(shè)X是局部道路連通空間，則X是連通空間當(dāng)且僅當(dāng)X是道路連通空間，并且X只有一個(gè)連通分支，也是它的道路連通分支，此分支為X。

證明：設(shè)X是局部道路連通空間，由于X是自身的開(kāi)子集，根據(jù)定理，x是連通空間等價(jià)于X是道路連通空間， X為連通空間只有一個(gè)道路連通 支，這個(gè)道 路連通分支也是X的連通分支，即此分支為X，連通空間與道路連通 空間，局部連通空間與局部道路連通空間，連通分支與道路連通分支以及n維歐氏空間 之間的關(guān)系框圖如下：

相關(guān)概念連通空間設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g。如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集A和B，使得X= A∪ B，則稱X是一個(gè)不連通空間；否則，則稱X是一個(gè)連通空間。

局部連通空間設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g。如果x∈ X的每一個(gè)鄰域中都包含著x的某一個(gè)連通的鄰域V，則稱拓?fù)淇臻g在點(diǎn)x處是局部連通的。如果拓?fù)淇臻gX在它的每一個(gè)點(diǎn)處都是局部連通的，則稱是一個(gè)局部連通空間。

局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的。例如，每一個(gè)離散空間都是局部連通空間，但包含著多于一個(gè)點(diǎn)的離散空間卻不是連通空間。又例如，n維歐氏空間的任何一個(gè)開(kāi)子空間都是局部連通的(這是因?yàn)槊恳粋€(gè)球形鄰域都同胚于整個(gè)歐氏空間，因而是連通的)，特別地，歐氏空間本身是局部連通的。另一方面，歐氏空間中由兩個(gè)無(wú)交的非空開(kāi)集的并作為子空間就一定不是連通的。

此外根據(jù)定義立即可見(jiàn)：拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x∈X處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x的所有連通鄰域構(gòu)成點(diǎn)二處的一個(gè)鄰域基。3

道路連通空間設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果對(duì)于任何x, y，存在著X中的一條從x到y(tǒng)的道路(或曲線)，我們則稱X是一個(gè)道路連通空間。X中的一個(gè)子集Y稱為X中的一個(gè)道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個(gè)道路連通空間。

實(shí)數(shù)空間R是道路連通的，這是因?yàn)槿绻鹸, y∈R，則連續(xù)映射f： [0,1] R定義為對(duì)于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點(diǎn)以y為終點(diǎn)的道路。也容易驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的。4

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學(xué)